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18-19 第3章 3.1 3.1.2 指数函数


3.1.2 指数函数

学习目标:1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的

求法.(重点、难点)2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指数函数的图象说

明指数函数的性质.(重点)
[自 主 预 习·探 新 知] 1.指数函数的定义 一般地,函数 y=ax(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数 的定义域是 R. 思考:指数函数中为什么规定 a>0,且 a≠1?

[提示] (1)如果 a=0,当 x>0 时,ax 恒等于 0,没有研究的必要;当 x≤0

时,ax 无意义; (2)如果 a<0,例如 f(x)=(-4)x,这时对于 x=12,14,…,该函数无意义; (3)如果 a=1,则 y=1x 是一个常量,没有研究的价值.

为了避免上述各种情况,所以规定 a>0,且 a≠1.

2.指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

图象

定义域

R

值域

(0,+∞)



过定点

过定点(0,1)



函数值 当 x>0 时,y>1; 当 x>0 时,0<y<1;

的变化 当 x<0 时,0<y<1

当 x<0 时,y>1

单调性 在 R 上是增函数

在 R 上是减函数

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3.比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断. (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用指数函数的图象的变化规 律来判断. (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.
[基础自测] 1.思考辨析 (1)函数 y=-2x 是指数函数.( ) (2)函数 y=2x+1 是指数函数.( ) (3)函数 y=(-2)x 是指数函数.( ) (4)指数函数的图象一定在 x 轴上方.( ) [解析] (1)×.因为指数幂 2x 的系数为-1,所以函数 y=-2x 不是指数函数.
(2)×.因为指数不是 x,所以函数 y=2x+1 不是指数函数.
(3)×.因为底数小于 0,所以函数 y=(-2)x 不是指数函数.
(4)√.因为指数函数的值域是(0,+∞),所以指数函数的图象一定在 x 轴的
上方. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.指数函数 y=ax 与 y=bx 的图象如图 3-1-1 所示,则( ) 图 3-1-1 A.a<0,b<0 B.a<0,b>0 C.0<a<1,b>1 D.0<a<1,0<b<1 C [函数 y=ax 的图象是下降的,所以 0<a<1;函数 y=bx 的图象是上升的,
所以 b>1.故选 C.] 3.函数 f(x)= 1-2x的定义域是( )
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A.(-∞,0] C.(-∞,0)

B.[0,+∞) D.(-∞,+∞)

A [由 1-2x≥0 得 2x≤1,根据 y=2x 的图象可得 x≤0,选 A.]

4.已知 a>0,且 a≠1,若函数 f(x)=2ax-4 在区间[-1,2]上的最大值为 10, 则 a=__________.

【导学号:60462204】

7或17 [(1)若 a>1,则函数 y=ax 在区间[-1,2]上是递增的,当 x=2 时,f(x) 取得最大值 f(2)=2a2-4=10,即 a2=7,又 a>1,∴a= 7.

(2)若 0<a<1,则函数 y=ax 在区间[-1,2]上是递减的,当 x=-1 时,f(x)取

得最大值 f(-1)=2a-1-4=10,所以 a=17.综上所述,a 的值为 7或17.]

[合 作 探 究·攻 重 难] 指数函数的概念

(1)下列一定是指数函数的是( )

A.y=ax

B.y=xa(a>0 且 a≠1)

C.y=???12???x

D.y=(a-2)ax

(2)函数 y=(a-2)2ax 是指数函数,则( )

A.a=1 或 a=3

B.a=1

C.a=3

D.a>0 且 a≠1

[思路探究] 根据指数函数的定义判断、求解.

[解析] (1)A 中 a 的范围没有限制,故不一定是指数函数;B 中 y=xa(a>0

且 a≠1)中变量是底数,故也不是指数函数;C 中 y=???12???x 显然是指数函数;D 中

只有 a-2=1,即 a=3 时为指数函数.

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???a-2?2=1, (2)由指数函数定义知?
??a>0,且a≠1,

所以解得 a=3. [答案] (1)C (2)C [规律方法] 1.判断一个函数是指数函数的方法

指数函数具有形式上的严格性,在指数函数定义的表达式中,要牢牢抓住四

点:

(1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数;

(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上; (3)ax 的系数必须为 1; (4)指数函数不会是多项式,如 y=ax+1(a>0 且 a≠1)不是指数函数.

2.已知某函数是指数函数求参数值的方法

(1)令底数大于 0 且不等于 1,系数等于 1 列出不等式与方程.

(2)解不等式与方程求出参数的值.

提醒:要特别注意底数大于 0 且不等于 1 这一隐含条件. [跟踪训练] 1.(1)若函数 f(x)是指数函数,且 f(2)=9,则 f(x)=________.
【导学号:60462205】 (2)已知函数 f(x)=(2a-1)x 是指数函数,则实数 a 的取值范围是________. (1)3x (2)???12,1???∪(1,+∞) [(1)由题意设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则 f(2)= a2=9,又因为 a>0,所以 a=3,所以 f(x)=3x.

??2a-1>0, (2)由题意可知?
??2a-1≠1,

解得

1 a>2且

a≠1,所以实数

a

的取值范围是

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???12,1???∪(1,+∞).]

指数函数的定义域和值域 (1)求下列函数的定义域和值域: ①y= 1-3x; ②y=???23??? -|x|; ③y=4x+2x+1+2. (2)求函数 y=???12???2x-x2 的值域与单调区间.

[思路探究]

(1)

函数式有意义

―→

原函数的定义域

―指―数―函―数→ 的值域

原函数的值域

(2)指数函数的图象与性质及复合函数的单调性与值域?用换元法将其化为 指数函数.
[解] (1)①要使函数式有意义,则 1-3x≥0,即 3x≤1=30,因为函数 y=3x 在 R 上是增函数,所以 x≤0,故函数 y= 1-3x的定义域为(-∞,0].
因为 x≤0,所以 0<3x≤1,所以 0≤1-3x<1. 所以 1-3x∈[0,1), 即函数 y= 1-3x的值域为[0,1). ②要使函数式有意义,则-|x|≥0,解得 x=0,所以函数 y=???23??? -|x|的定义 域为{x|x=0}. 因为 x=0,所以 y=???23??? -|x|=???23???0=1,即函数 y=???23??? -|x|的值域为{y|y= 1}. ③因为对于任意的 x∈R,函数 y=4x+2x+1+2 都有意义,所以函数 y=4x+

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2x+1+2 的定义域为 R.因为 2x>0,所以 4x+2x+1+2=(2x)2+2×2x+2=(2x+1)2 +1>1+1=2,
即函数 y=4x+2x+1+2 的值域为(2,+∞). (2)令 t=2x-x2,则 y=???12???t,而 t=-(x-1)2+1≤1,所以 y=???12???t≥12,故所 求函数的值域为???12,+∞???. 因为 y=???12???2x-x2=???12???t,由于二次函数 t=2x-x2 的对称轴为 x=1,可得函数 t 在(-∞,1]上是增函数,函数 y 在(-∞,1]上是减函数,故函数 y 的减区间是 (-∞,1]. 函数 t 在(1,+∞)上是减函数,函数 y 在(1,+∞)上是减函数,故函数 y 的增区间是(1,+∞). [规律方法] 1.函数 y=af(x)的定义域、值域的求法 (1)函数 y=af(x)的定义域即 y=f(x)的定义域. (2)函数 y=af(x)的值域的求法如下: ①换元,令 t=f(x); ②求 t=f(x)的定义域 x∈D; ③求 t=f(x)的值域 t∈M; ④利用 y=at 的单调性求 y=at,t∈M 的值域. 2.复合函数的单调性 与指数函数有关的单调性问题,求出内函数的单调区间结合外函数的单调 性,结合复合函数的单调性确定其单调性. 提醒:利用指数函数的单调性时要注意对底数的讨论.
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[跟踪训练] 2.已知函数 y=f(x)=1-2ax-a2x(a>1). (1)求函数 f(x)的值域; (2)若 x∈[-2,1]时,函数 f(x)的最小值为-7,求 a 的值和函数 f(x)的最大值.
【导学号:60462206】 [解] 设 ax=t>0, 所以 y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2. (1)因为 t=-1?(0,+∞),所以 y=-t2-2t+1 在(0,+∞)上是减函数,所 以 y<1,所以值域为(-∞,1). (2)因为 x∈[-2,1],a>1, 所以 t∈???a12,a???, 由 t=-1????a12,a???, 所以 y=-t2-2t+1 在???a12,a???上是减函数,-a2-2a+1=-7, 所以 a=2 或 a=-4(不合题意,舍去),
11 当 t=a2=4时 y 有最大值, 即 ymax=-???14???2-2×14+1=176.
指数函数的图象 [探究问题] 1.指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象过哪一定点?函数 f(x)=ax-1+2(a>0 且 a≠1)的图象又过哪一定点呢? 提示:法一:(平移法)∵y=ax 过定点(0,1),∴将函数 y=ax 向右平移 1 个单位, 再向上平移 2 个单位得到 y=ax-1+2,此时函数 y=ax 图象过定点(1,3).
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法二:(解方程法)指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(0,1);在 f(x)= ax-1+2 中令 x-1=0,即 x=1,则 f(x)=3,所以函数 f(x)=ax-1+2(a>0 且 a≠1)

的图象过定点(1,3). 2.指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象可能在第三或第四象限吗?为什么? 提示:不可能.因为指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的定义域是(-∞,+∞),

值域是(0,+∞),这就决定了其图象只能在第一象限和第二象限. 3.从左向右,指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象呈上升趋势还是下降趋势?

其图象是上凸还是下凸?

提示:当 0<a<1 时,指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象从左向右呈下降趋 势;当 a>1 时,指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象从左向右呈上升趋势.指数

函数的图象下凸. (1)在同一坐标系中画出函数 y=ax,y=x+a 的图象,可能正确的是
(2)函数 y=a-|x|(0<a<1)的图象是( ) [思路探究] (1)分 a>1 和 0<a<1 两种情况分类讨论,结合排除法解题;(2)

根据函数的奇偶性,单调性和函数的最值,以及函数的凹凸性即可判断.

[解析] (1)∵a 为直线 y=x+a 在 y 轴上的截距,对应函数 y=x+a 单调递增, 又∵当 a>1 时,函数 y=ax 单调递增,当 0<a<1 时,函数 y=ax 单调递减, A 中,从图象上看,y=ax 的 a 满足 a>1,而直线 y=x+a 的截距 a<1,不

符合以上两条;

B 中,从图象上看,y=ax 的 a 满足 0<a<1,而直线 y=x+a 的截距 a>1,

不符合以上两条;

C 中,从图象上看,y=ax 的 a 满足 a>1,而函数 y=x+a 单调递减,不符

合以上两条,

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∴只有选项 D 的图象符合以上两条,故选 D. (2)y=a-|x|=???1a???|x|,易知函数为偶函数,∵0<a<1,∴1a>1,故当 x>0 时, 函数为增函数,当 x<0 时,函数为减函数,当 x=0 时,函数有最小值,最小值 为 1,且指数函数为凹函数,故选 A. [答案] (1)D (2)A [规律方法] 1.可用指数函数的图象过定点(0,1),结合指数函数的性质如单 调性、值域等处理指数函数的图象问题. 2.要求指数型函数图象所过的定点时,只需令指数为 0,求出对应的 y 的 值,即可得函数图象所过的定点. 3.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系. (1)在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小. (2)在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小. (3)无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过 x 取 1 时函数值的大小关系去理解,如图 3-1-2 所示的指数函数的底数的大小关系 为 0<d<c<1<b<a.
图 3-1-2 [跟踪训练] 3.若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是__________.
【导学号:60462207】 [-1,1] [∵2x>0,所以 2x+1>1, 即|y|>1,又因为曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点,所以-1≤b≤1.]
[当 堂 达 标·固 双 基] 1.若函数 f(x)是指数函数,且 f(2)=2,则 f(x)=( )
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A.( 2)x

B.2x

C.???12???x

D.??? 22???x

A [由题意,设 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则由 f(2)=a2=2,得 a= 2,所以

f(x)=( 2)x.] 2.当 x∈[-2,2)时,y=3-x-1 的值域是( )

【导学号:60462208】

A.???-89,8???

B.???-89,8???

C.???19,9???

D.???19,9???

A [y=3-x-1,x∈[-2,2)是减函数,

∴3-2-1<y≤32-1,

即-89<y≤8.] 3.已知???25???a>???52???-b,则 a,b 的大小关系为__________. a<b [因为???25???a>???52???-b,所以???25???a>???25???b,而函数 y=???25???x 是 R 上的减函数.

故 a<b.] 4.已知函数 f(x)=a2x-4+n(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 P(m,2),则 m+n= ________. 3 [令 2x-4=0,即 x=2,f(x)=1+n.

??m=2,

??m=2,

∴?

∴?

∴m+n=3.]

??1+n=2, ??n=1,

5.已知 f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].

【导学号:60462209】

(1)设 t=3x,x∈[-1,2],求 t 的最大值与最小值; (2)求 f(x)的最大值与最小值.
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[解] (1)设 t=3x,∵x∈[-1,2],函数 t=3x 在[-1,2]上是增函数,故有13≤t≤9, 故 t 的最大值为 9,t 的最小值为13.
(2)由 f(x)=9x-2×3x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数的对称轴 为 t=1,
且13≤t≤9,故当 t=1 时,函数 f(x)有最小值为 3,当 t=9 时,函数 f(x)有最 大值为 67.
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