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2014江苏高考试题1部分试题解析及2015届高三复习教学建议 何睦


仅供个人参考
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学Ⅰ部分试题解析及 2015 届高三教学建议
江苏省张家港市常青藤实验中学 何睦
(感谢苏州松陵金晔老师提供如此精美的试卷 word 版) (2014 年高考江苏卷 第 10 题)
已知函数 f (x) ? x 2 ? mx ? 1, 若对于任意 x ?[m, m ? 1] ,都有 f (x) ? 0 成立,则实数 m 的 For personal use only in study and research; not for commercial use
取值范围是 ▲ . 【思路探究】画出二次函数的分析简图:

For personal use only in commercial use

study and research; not for

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由图象分析可得结论:开口向上的二次函数 f (x) 在?m, n? 上恒小于 0 的充要条件为

? f (m) ? 0,

? ?

f

(n)

?

0.

,开口向下的二次函数

f

(x)

在?m, n?

上恒大于

0

的充要条件为

? ? ?

f f

(m) ? 0, (n) ? 0.

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【解法探究】

? ? ?

f f

(m) ? 0, (m ?1) ?

0.

?

? ??? ? ????

2 2 3? 2

?m m?

? 0.

2 2

,

?

m

?

? ???

?

2 2

,

0

? ???

.

【教学建议】

(1)一元二次不等式作为江苏高考考试说明的 C 级要求,在教学中应突出和加强二次函

数、二次方程的零点、一元二次不等式的研究性教学,由于三次函数求导后仍为二次函数 问题,所以可考虑多渗透一些含参数问题的讨论,适.时.和.适.当.加大二次问题的教学难度.

(2)多引导学生利用数形结合的方法研究函数问题.

(2014 年高考江苏卷 第 12 题)

如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8 , AD ? 5 , CP ? 3PD , AP ? BP ? 2 ,则

AB ? AD 的值是 ▲ .

DP

C

A

B

【思路探究】向量是高中阶段数与形结合的完美典范,向量教学中尽可能的引导学生从代

数和几何两个角度审视和考查向量问题,数一般指向量的坐标法,形一般指向量的基底法.

【解法探究】

uuur uuur

uuur uuur

解法 1:基底法,考虑将条件中涉及的 AP, BP 向量用基底 AB, AD 表示,而后实施计算.

AP ? AD ? DP ? AD ? 1 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? 3 AB

4

4

则 AP? BP ? 2 ? (AD? 1

AB) ? (AD ? 3 AB)

?

2
AD

?

1

AD? AB?

3

2
AB

4

4

2

16

因为 AB ? 8, AD ? 5 则 2 ? 25 ? 3 ? 64 ? 1 AB? AD ,故 AB ? AD ? 22 16 2

解法 2:坐标法,不妨以 A 点为坐标原点, AB 所在直线作为 x 轴建立平面直角坐标系,

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uuur

uuur

可设 A(0,0), B(8,0), D(a.t).P(a ? 2,t),C(a ? 8,t) ,则 AP ? (a ? 2,t), BP ? (a ? 6,t)

由 AP ? BP ? 2 ,得 a2 ? t2 ? 4a ? 14 ,由 AD ? 5 ,得 a2 ? t2 ? 25 ,则 4a ?11, uuur uuur
所求 AB ? AD ? 8a ? 22 .
【教学建议】 (1)向量是高中阶段数与形结合的完美典范,在向量教学中尽可能的引导学生从代数和 几何两个角度审视和考查向量问题,数一般指向量的坐标方法,形一般指向量的基底方法. (2)平面向量的数量积作为江苏高考考试说明的 C 级要求,在教学中应重点加强. 此外, 向量作为良好载体可与很多其他知识进行结合(如数列、函数、解析几何等等),这一点 在其他省份的高考题中有所体现,江苏在这方面未有尝试,不妨关注一下. (2014 年高考江苏卷 第 13 题)
已知 f (x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ?[0,3) 时, f (x) ?| x2 ? 2x ? 1 | .若函数 2
y ? f (x) ? a 在区间[?3,4]上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 ▲ .

【解法探究】作出函数的简图,由图象分析可得

a

?

? ??

0,

1 2

? ??

.

【教学建议】 含绝对值的函数和分段函数是江苏省高考命题最为亲睐的考查内容之一, 可以说每年高考填空题必考题型. 在教学中,应多让学生自己动手作图,不断提升“依性作 图”和“以图识性”的能力.
(2014 年高考江苏卷 第 14 题) 若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cosC 的最小值是 ▲ .
【思路探究】多元函数的最值问题研究,考察正余弦定理和基本不等式. 不得用于商业用途

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【类题链接】(2008 年江苏高考) x, y, z ? R?, x ? 2 y ? 3z ? 0, y2 的最小值为

.

xz

【解法探究】由正弦定理得 a ? 2b ? 2c ,由余弦定理结合基本不等式有:

cosC

?

a2

? b2

? c2

?

a2

? b2

? (a ? 2

2b )2

?

3 a2 4

?

1 b2 2

?

2 ab 3 a2 ? 1 b2 2 ?4 2 ?

2

2ab

2ab

2ab

2ab

4

2 3 a2 1 b2 ? 42?

2?

6?

2 , 当且仅当 a ?

6 b 时等号成立.

2ab

4

4

3

【教学建议】多元函数最值问题的研究,应始终引导学生树立减元消参的意识,减元消参

是数学求简的必然要求,是“简中求道”精神的体现.

(2014 年高考江苏卷 第 17 题)

如图,在平面直角坐标系 xOy

中, F1 , F2

分别是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的左、右焦

点,顶点 B 的坐标为 (0, b) ,连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,

过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连结 F1C .

(1)若点

C

的坐标为 ( 4 3

,

1) 3

,且

BF2

?

2 ,求椭圆的方程;

(2)若 F1C ? AB, 求椭圆离心率 e 的值.

y
B C

F1 O F2

x

A

【解法探究】(1)由题意知 B(0, b), F2 (c, 0) ,则 BF2 ? b2 ? c2 ? a ? 2 ;
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则椭圆方程为

x2 2

?

y2 b2

?1.

点 C ( 4 , 1) 在椭圆上,故 33

1 ?16 29

?

1 9b2

? 1,解得 b2

? 1;

所求椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1. 2

(2)解法 1:(垂直关系的先行表征)设 C(x0 , y0 ), A(x0. ? y0 ), F1(?c, 0), F2 (c, 0) ,由

F1C

?

AB, 得

y0 ? b x0 ? c ?c

?

?1 ,由

A 在 BF2 上,则

x0 c

?

? y0 b

? 1 ;联立 ???cx0 ??bx0

? by0 ? cy0

? ?c2, ? bc.

解得:

?

ca2

??x0 ? b2 ? c2 ,

?

? ??

y0

?

2bc2 b2 ? c2

.



C(x0 , y0 )

在椭圆上,代入椭圆方程整理得

c2a2 ? 4c4 ? (a2 ? 2c2 )2 ,即 a2 ? 5c2 ,所以椭圆的离心率为 e ? 5 . 5

解法

2:(垂直关系的最后表征)由题意知直线

BF2

方程:

y

?

?

b c

(x

?

c)

,与椭圆联立方

程组得:

? ??

y

?

?

b c

(x

?

c)

? ?

x2

?? a2

?

y2 b2

?1

得到

(

1 a2

?

1 c2

)x2

?

2x c

?

0 ,解得

xB

?

0,

xA

?

2a2c a2 ? c2





yA

?

?

b c

(x ? c)

?

?b(3a2 ? c2 ) a2 ? c2

uuur ;又由 F1C

?

uuuur BF2

可知:

yA

?

?

cxA ? c2 b

,代入化简

有 b2 (a2 ? c2 ) ? c2 (3a2 ? c2 ) ,将 b2 ? a2 ? c2 代入化简得 a4 ? 5a2c2 ,即 e2 ? 1 ,e ?

5
.

5

5

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仅供个人参考 【教学建议】 (1)解析几何的教学要注重“算理”的积累和表征,教会学生从不同的角度对问题进行表 征,也符合江苏省对解析几何问题“多考一点想,少考一点算”的命题方向; (2)定点定值问题仍然是解析几何问题的命题热点、重点和难点,在教学中仍应引起足 够重视,但江苏卷这两年解析几何的命题告诉我们:教学时也很有必要回归解析几何最最 基本的运算(抛除一切所谓的运算技巧),我想这应该是这两年命题组老师的良苦用心吧; (3)加强解析几何的运算能力,如何提高?无它,算必躬亲耳.

(2014 年高考江苏卷 第 18 题)

如图,为了保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:

新桥 BC 与河岸 AB 垂直; 保护区的边界为圆 心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥 两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少

北 B

于 80m. 经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m

A

处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为 河岸), tan ?BCO ? 4 .
3 (1)求新桥 BC 的长;

60 m M O

170 m

C东

(2)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大?

【解法探究】
(1)解法 1:(两角差的正切)连结 AC ,由题意知 tan ?ACO ? 6 ,则由两角差的正切 17
公式可得: tan ?ACB ? tan(?BCO ? ?ACO) ? 2 ,故 BC ? cos ?ACB ? AC ? 150 m 3
答:新桥 BC 的长度为150 m.

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解法 2:(解析法)由题意可知 A(0, 60), B(170, 0) ;由 tan?BCO ? 4 可知直线 BC 的斜
3

率 k ? ? 4 ,则直线 BC 所在直线的方程为 y ? ? 4 (x ?170) ;又由 AB ? BC 可知,AB 所

3

3

在的直线方程为

y

?

3 4

x

?

60

;联立方程组

? ?? ? ? ??

y y

? ?

?
3 4

4 3
x

(x ?170) ? 60

,解得

x

?

80,

y

? 120



即点 B(80,120) ,那么 BC ? (80 ?170)2 ?1202 ? 150. 答:新桥 BC 的长度为150 m.

解法 3:(初中解法)延长 CB 交 OA 所在直线于点 G ,

由 tan?BCO ? 4 可得 OG ? 680 , CG ? 850 ,

3

3

3

AG ? 500 , cos ?CGO ? sin ?GCO ? 4 ,故

3

5

BG ? cos ?CGO ? AG ? 400 ,在 ?OCG 中,由 3

勾股定理得 CG ? 850 ,故 BC ? 150 m 3

答:新桥 BC 的长度为150 m.

(2)解法 1:(解析法)由题意设 M (0, a) (0 ? a ? 60) ,圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? a)2 ? r2 ,

且由题意可知 r ?

680 ? a

3

?

680 ? 3a
.

又古桥两端

O



A

到该圆上任意一点的距离

1? (? 4)2

5

3

均不少于

80m,那么

?r ??r

? ?

a? (60

80 ? a)

?

80

,解得10

?

a

?

35

;由函数

r

?

680 ? 3a 5

为区间

[10,35]上的减函数,故当 a ?10 时,半径取到最大值为130 .

综上可知,当 OM ?10m 时,圆形保护区的面积最大,且最大值为16900? .

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解法 2:(初中解法)(兴化顾卫老师)设 BC 与圆 切于点 N ,连接 MN ,过点 A 作 AH / /BC 交 MN 于点 H .设 OM ? a ,则 AM ? 60 ? a ,由古桥两
端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m,





?r ??r

? a ? 80 ? (60 ? a)

?

80







10

?

a

? 35

.



tan ?AMH ? tan ?OCN ? 4 ,可得 MH ? 3 (60 ? a) ,由(1)解法 3 可得 AB ?100 ,

3

5

所以 MN ? 100 ? 3 (60 ? x) ? ? 3 x ?136 ,故 MN 即圆的半径的最大值为 130,当且仅当

5

5

a ?10 时取得半径的最大值. 综上可知,当 OM ?10m 时,圆形保护区的面积最大.

【教学建议】

(1)应用题从考试角度来说主要考查学生两个方面的能力:建立数学模型的能力(简称 “建模”能力)、解决数学模型的能力(简称“解模”能力),从应试方法上如何突破呢?

首先要系统研究所有可能出现的应用题并做到能对症下药,常考查的应用题类型有:函数

应用题(以分式函数为载体的函数应用题、以分段函数为载体的函数应用题、以二次函数

为载体的函数应用题);三角测量应用题(以三角函数的定义为载体的三角应用题、以三

角函数的图象为载体的三角应用题、以解三角形为载体的三角应用题、以立体几何为载体

的三角应用题、以追击问题为载体的三角应用题、以米勒问题为载体的三角应用题);数

列应用题;线性规划应用题;解析几何应用题.(可参考何睦老师编写的《高考数学应用题 复习题型归类解析讲义》);其次是解模工具的积累,例如基本不等式、导数研究函数单调

性等等.
(2)本题的难点在于求出 a 的取值范围,在教学中教师应注意多参数的参数范围问题
注意目标意识的应用,注意减元意识的渗透.提供两个典型问题供各位练习:

(Ex.1)(湖北高考题改编)锐角 ?ABC中, A ? 2B ,则 ?A 的取值范围是___________.
(Ex.2)(2014 南通四模)图 1 是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图,图 2 是凹槽的横 截面(阴影部分)示意图,其中四边形 ABCD 是矩形,弧 CmD 是半圆,凹槽的横截面的 周长为 4.若凹槽的强度 T 等于横截面的面积 S 与边 AB 的乘积,设 AB=2x,BC=y. 不得用于商业用途

仅供个人参考 (1)写出 y 关于 x 函数表达式,并指出 x 的取值范围; (2)求当 x 取何值时,凹槽的强度 T 最大.
图1

D

C

m

A

B

图2

(Ex.3)(2014 南通四模)设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=2014,且存

在正整数 k,使 a1,a54,ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为



(2014 年高考江苏卷 第 19 题)

已知函数 f (x) ? e x ? e?x ,其中 e 是自然对数的底数.

(1)证明: f (x) 是 R 上的偶函数;

(2)若关于 x 的不等式 mf (x) ≤ e?x ? m ? 1在 (0,??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围;

(3)已知正数 a 满足:存在 x0 ?[1,??) ,使得 f (x0 ) ? a(?x03 ? 3x0 ) 成立.试比较 e a?1 与 a e?1 的大小,并证明你的结论. 【解法探究】
(1)函数 f (x) 的定义域为 R ,关于原点对称;又因为 f (?x) ? e?x ? ex ? f (x) ,所以函

数 f (x) 是 R 上的偶函数;

(2) mf (x) ≤ e?x ? m ? 1 ? m(ex ? e?x ) ? e?x ? m ?1 ,即 m(ex ? e?x ?1) ? e?x ?1 ;令

t ? e?x (t ? 0) ;因为 ex ? e?x ?1 ? t ? 1 ?1 ? 2 ?1 ? 1,当且仅当 t ? 1时,等号成立; t



m

?

t

1 ?1 t ? 1 ?1

?

1?t t2 ?t ?1

,令

h(t)

?

1?t t2 ?t ?1

,下只要求 m

?

hmin

(t)

.

h '(t)

?

t(t ? (t2 ? t

2) ? 1)



t

则当 t ? 2时, h '(t) ? 0 ;则当 0 ? t ? 2 时, h '(t) ? 0 ;因此可知当 t ? 2 时,

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hmin

(t

)

?

h(2)

?

?

1 3

;则

m

?

?

1 3

.

综上可知,实数 m 的取值范围为 (??, ? 1]. 3

(3)难题分解 1:如何根据条件求出参数 a 的取值范围?

问题呈现: ?x0 ?[1, ??) ,使得 f (x0 ) ? a(?x03 ? 3x0 ) 成立”,求参数 a 的取值范围.
认知过程 1:这是什么问题?(不等式的有解问题) 认知过程 2:怎么处理这类问题?(参数分离或者直接求函数的最值,选用哪种呢?管它 呢,都试试吧!)
分解路径 1:直接求函数的最值(笔者称其为“单刀直入”法)
解:令 g(x0 ) ? f (x0 ) ? a(?x03 ? 3x0 ) ,只要在 x0 ?[1, ??) 上, g(x0 )min ? 0 即可.

g '(x0 ) ?

(ex0 )2 e x0

?1 ? 3a(x02

?1) .

且当 x0

? 1时, g '(x0 ) ? 0 ;当 x0

? 1时, x02 ?1 ? 0 ,

(ex0 )2 ?1 ? 0 ,则 g '(x0 ) ? 0 . 故在区间[1, ??) 上,g '(x0 ) ? 0 ,即函数 g(x0 ) 为[1, ??) 的

增函数,则

gmin (x0 )

?

g (1)

?

e

?

e?1

?

2a

?

0

,解得 a

?

e

? e?1 2

.

分解路径 2:参数分离可以吗?(of course!)
? ? 解:欲使条件满足,则 x0 ? 1, 3 (想想这是为什么?留给大家思考.)

此时 ?

x03

? 3x0

?

0

,则 a

?

?

f (x0 ) x03 ? 3x0

,构造函数 g(x0 )

?

?

f (x0 ) x03 ? 3x0

,即求此函数在

? ? x0 ? 1, 3 上的最小值.

(编者按:可能会有同学一阵眩晕,别怕,你要有个信念:要研究这么复杂的函数的

单调性,可能只是 DDN(逗逗你),单调的!不妨先用直觉感知一下:在定义域上,分子

是单调递增的函数,分母是单调递减的函数,且分子和分母均大于 0 恒成立,还不是单调

递增吗?有了这个目标. 对接下去的证明工作起了很好的导向作用).

g ?( x 0 )

?

(e x0

? e?x0 )(?x03

? 3x0 ) ? (ex0 ? e?xo )(?3x02 (?x03 ? 3x0 )2

? 3)

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仅供个人参考 (编者按:又有同学说:My faint!(我晕),这么复杂的分子怎么办!你说咋办!刚才
的直觉已经告诉你是单调递增了,那还不应该大于 0 恒成立吗?要因式分解吗?大可不必, 先观察观察,然后再决定怎么办!)
? ? 因为 x0 ? 1, 3 ,ex0 ? e?x0 ? 0,?x03 ? 3x0 ? 0,ex0 ? e?x0 ? 0,?3x02 ? 3 ? 0 ,(嘿嘿,
出来了!),则 (ex0 ? e?x0 )(?x03 ? 3x0 ) ? (ex0 ? e?x0 )(?3x02 ? 3) ? 0 . 则 g?(x0 ) ? 0 在

? ? x0 ? 1,

3

上恒成立,故 g(x0 )min

?

g(1) ?

e ? e?1 2

,故 a

?

e ? e?1 2

.

难题分解 2:如何根据求得的参数 a 的取值范围比较 e a?1 与 a e?1 的大小?
认知过程 1:这是什么问题?(比大小问题)

认知过程 2:之前有没有见过类似的问题(见过,比如比较 ab 和 ba 的大小)
材料重现:案例:取对数运算在数学解题中的应用(来源于教材习题)

引例:设 0 ? a ? b ? 1,比较 a b 和 b a 的大小。

研究 1:(1992 全国高考)(1)已知 a, b 为实数,且 e ? a ? b ,其中 e 是自然对数的底数,

证明 a b > b a ;(2)如果正实数 a, b 满足 a b = b a ,且 a ? 1,证明: a ? b

研究 2: 已知函数 y ? f (x) ? ln x .(1)求函数 y ? f (x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程;

x

e

(2)求 y ? f (x) 的最大值;(3)比较 20112012 与 20122011 的大小,并说明为什么?

研究 3:已知函数 f (x) ? ln x ,某同学发现:总存在正实数 a 、 b(a ? b) ,使 ab ? ba , x
则 a 的取值范围为____________
研究 4:(2012 年南通三模 23)已知函数 f (x) ? (2x ?1)ln(2x ?1) ? a(2x ?1)2 ? x(a ? 0) .
(1)若函数 f (x) 在 x ? 0 处取极值,求 a 的值;

(2)如图,设直线 x ? ? 1 , y ? ?x 将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域(不含边界), 2
若函数 y ? f (x) 的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的 a 的 取值范围;

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仅供个人参考 (3)比较 32 ? 43 ? 54 ?? ? ?? 20122011 与 23 ? 34 ? 45 ?? ? ?? 20112012 的大小,并说明理由.

Ⅰy Ⅱ Ⅲx Ⅱ

?1 O

x

2Ⅳ

x



认知过程 3:怎么处理这类问题?(取对数,构造辅助函数)

分解路径 1:(取对数)ea?1 与 ae?1 均为正数,同取自然底数的对数,即比较 (a ?1) ln e

与 (e ?1) ln a 的大小,即比较 ln e 与 ln a 的大小. 构造函数 h(x) ? ln x (x ? 1) ,

e ?1 a ?1

x ?1



h?( x)

?

1 ? 1 ? ln x
(x ?1)2

x

,再设

m(x)

?1?

1 x

?

ln

x



m?(x)

?

1? x x2

,从而

m(x)



(1,??) 上 单 调 递 减 , 此 时 m(x) ? m(1) ? 0 , 故 h?(x) ? 0 在 (1,??) 上 恒 成 立 , 则 h(x) ? ln x 在 (1,??) 上单调递减.
x ?1 当 e ? e?1 ? a ? e 时,ae?1 ? ea?1 ;当 a ? e 时,ea?1 ? ae?1 ;当 a ? e 时,ae?1 ? ea?1 .
2
分解路径 2:(变同底,构造函数比大小)(苏州王耀老师)

要比较 ea?1 与 ae?1 的大小,由于 ae?1

? e(e?1)ln a ,那么

a e ?1 ea?1

? e[(e?1)ln a?(a?1)] ,故只要比

较 a ?1与 (e ?1) ln a 的大小.
令 h(x) ? (e ?1) ln x ? (x ?1) ,那么 h '(x) ? e ?1 ?1,当 x ? e ?1时,h '(x) ? 0 ;当 x
0 ? x ? e ?1时, h '(x) ? 0 ;所以在区间 (0, e ?1) 上, h(x) 为增函数;在区间 (e ?1, ??)
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上, h(x) 为减函数.

又 h(e) ? 0 , h(1) ? 0 ,则 h(e ?1) ? 0 , h(e ? e?1 ) ? 0 ;那么当 e ? e?1 ? a ? e 时,

2

2

h(a) ? 0 , eh(a) ? 1 , ae?1 ? ea?1 ;当 a ? e 时, h(a) ? 0 , 0 ? eh(a) ? 1, ae?1 ? ea?1 .

综上所述,当 e ? e?1 ? a ? e 时,当 a ? e 时,ea?1 ? ae?1 ;当 a ? e 时, ae?1 ? ea?1 . 2
(本题想法来源:05 年江苏高考数学试题和 1983 年全国高考题,学有余力的同学可参考) 【教学建议】 (1)教师应给予学生积极的心里暗示:难题不难,事实上高考 19 和 20 题的第 1 问,甚 至是第 2 问都属于基础题和中档题,也就是 19 和 20 题中至少有 12 分学生也是能拿到的. 今 年的高考试题更好的突出了这个特点,正所谓“人人有得,各得其所;每个人都要学数学, 不同的学生学不同的数学”,体现了“大众数学”(Mass Mathematics)的理念. (2)如何解决难题,教师应教会学生将难题进行分解,而后逐一破解,哪怕做不到最终 的结果也无大碍,毕竟考试是有过程分的. (3)教师应有意识的培养学生的自主探究能力, 如何培养?第一,指导学生自己开展探究 性学习. 笔者建议教师引导学生对教材的基本结论和教材呈现的基本问题进行自主探究. 其次,在教师的引领下开展一些小专题(当前流行的称法是微专题 Micro-Theme)的研究.
案例 1:对教材基本结论的探究 教材中有大量的基本结论,教师如能有心的对这些基本结论进行追问,对学生提出问 题和解决问题能力的形成大有裨益. 追问的方式有两种:这个命题(结论)的逆命题是否 成立?这个命题(结论)能否作一般性推广?例如学完等差数列的通项公式,我们知道,
若数列?an? 为等差数列,则 an ? An ? B ,逆命题成立吗?再例对于集合子集个数的探讨,
在学生计算集合元素个数为 2,3,4 时的子集个数后,进而提出问题:如果一个集合的元素
个数为 n ,则集合的子集个数是多少?能否作简单的说明?
案例 2:对教材基本问题的探究

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仅供个人参考 教材为我们研究数学、做数学提供了严谨的数学工具,也提供了研究的范例,例如指数函 数、对数函数、幂函数是在掌握研究函数一般方法的前提下,利用一般方法进行的具体实 践与研究,此时为了更好的让学生熟练掌握函数研究的一般方法,可以放手让学生研究其 他一些函数:在初中我们已经学过一次、二次和反比例函数的图象与性质,那么如果一次
函数与反比例函数复合而成一个新的函数,例如: y ? x ? 1 ,它的图象和性质如何呢? x
如果二次函数与反比例函数复合而成一个新的函数,例如 y ? x2 ? 1 ,它的图象和性质又 x
如何呢?例如必修 5 研究了等差和等比数列这两类特殊数列后,可自然的生成新的问题: 有等和和等商数列吗?请自行研究并给出相关的研究性成果. 再如学习了“椭圆的标准方
程”后,对于 PA ? PB ? 2a ,我们能否可以进一步研究: PA? PB ? 2a (可能为双曲线 的一部分), PA? PB ? 2a (可能是阿波罗尼斯圆), PA ? 2a (可能是卡西尼卵形线),
PB
各自的轨迹方程如何?
(2014 年高考江苏卷 第 20 题) 设数列{an } 的前 n 项和为 S n .若对任意正整数 n ,总存在正整数 m ,使得 Sn ? am ,则
称{an } 是“H 数列”.
(1)若数列{an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ( n ? N ? ),证明: {an } 是“H 数列”; (2)设{an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1,公差 d ? 0 .若{an } 是“H 数列”,求 d 的值;
(3)证明:对任意的等差数列{an } ,总存在两个“H 数列”{bn } 和{cn } ,使得 an ? bn ? cn
( n ? N ? )成立. 【解法探究】
(1)因为 S n ? 2 n , a1 ? S1 ? 2 ,故当 m ? 2 时, am ? Sm ? Sm?1 ? 2m ? 2m?1 ? 2m?1 ,那 ?1, m ? 1
么数列 {an } 的通项公式为 am ? ??2m?1, m ? 2 . 因此,当 n ?1 时, m ? 1, Sn ? am ;
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?n ? 2 ,当 m ? n ?1时, Sn ? am .
(编者按:存在性问题的证明方法,找出符合题意的对象) (2)解法 1:(从特殊到一般)

由{an } 是首项为

1

的等差数列,则 am

?1?

(m

? 1)d

, Sn

?

n

?

n2 ? 2

n

d

,又数列是

“H 数列”,不妨取 n ? 2 时,存在满足条件的正整数 m ,使得1? (m ?1)d ? 2 ? d ,即

(m ? 2)d ? 1, (i)当 m ? 3 时,此时 d ? 0 ,不符合题意,应舍去; (ii)当 m ? 2 时,不存在满足条件的 d ; (iii)当 m ? 1时, d ? ?1. 此时数列{an } 的通项公式为 an ? 2 ? n ,
下面我们一起来验证{an } 为“H 数列”:

an

?

2 ? n ; Sn

?

3n ? n2 2

,此时 m

?

4 ? 3n ? 2

n2

(容易验证 m

为正整数,这部分

各位同学自己把过程补完整). 解法 2:(笔者看到这个题目,想到和去年考的是一样的:恒成立问题)(苏州王耀老师)

由题意设 am

?1?

(m

?1)d

;又等差数列{an } 的前

n

项和 Sn

?

n

?

n2 ? 2

n

d

;由题意

知对任意正整数 n

,总存在正整数 m

,使得

Sn

?

am ,1? (m ?1)d

?

n

?

n2 ? 2

n

d

(*);那

么 m 随着 n 的变化而变化,可设满足函数关系式 m ? f (n) .

又 d ? 0 ,那么要使(*)对任意自然数 n 恒成立,则 m ? f (n) ? 1 n2 ? Bn ? C ;代入得: 2

1 2

n2d

?

Bnd

?

(1 ?

d

?

Cd )

?

n(1?

d) 2

?

n2 2

d

,即有

??Bd ? 1? d

?

2

??1? d ? Cd ?

0



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又当 n ?1时, m ? n ?1,即 1 ? B ? C ? 1,由此可以解得 B ? ? 3 ,C ? 2 , d ? ?1.

2

2

此时 an ? 2 ? n .

解法 3:(利用封闭数列的相关研究)

?n ? N , Sn ? am ,所以 Sn?1 ? am? (n ? 2) ,由题意得 Sn ? Sn?1 ,所以 am ? am? ,即 m ? m? .,

对于任意的 n ,存在 m, m? 使得 an ? am ? am? ,1? (n ?1)d ? 1? (m ?1)d ? [1? (m? ?1)d]

化简可得 n ? m ? m? ? 1 ?1.(*) 当 d ? ?1 时,此时 1 不是整数,此时(*)式不满足;

d

d

当 ?1 ? d ? 0 时,此时 ? 1 ? 1,而 m ? m? ? 0 ,所以 n ? m ? m? ? 1 ? 1 ? 3 恒成立,不

d

d

对 ?n ? N 恒成立,所以 d ? ?1.

(学有余力的同学可进一步研究:设数列?an??n ?1, 2,L ? 是等差数列,且公差为 d ,若

数列?an? 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则 称该数列是“封闭数列”.

(1)若 a1 ? 4, d ? 2 ,判断该数列是否为“封闭数列”,并说明理由?

(2)试问:数列?an? 为“封闭数列”的充要条件是什么?给出你的结论并加以证明.)

(3)这样的分解不唯一,化归第(2)问的结论,从结论中寻找解题问题的生长. 由(2)的解答过程可知:

等差数列

?bn

?

中若

b1 d1

? ?1时,

?bn? 是“ H 数列”,

则 bn

? b1 ? (n ?1)d1 ? 2b1 ? b1n .

同理等差数列

?cn

?

中若

c1 d2

? 1 时,

?cn? 是“ H 数列”, cn

? c1 ? (n ?1)d2 ? c1n .

任意的等差数列?an? ,则可表示为 an ? An ? B .

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?b1

?

c1

?

A , 2b1

?

B

,此时 b1

?

B 2

, c1

?

A?

B 2

.

所以对任意的等差数列?an? ,总存在两个等差“ H 数列”?bn? 和?cn? ,使得

an ? bn ? cn (n ? N * ) 成立.

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