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2019-2020年高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布单元质量检测 理 新人教A版


2019-2020 年高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变

量及其分布单元质量检测 理 新人教 A 版

一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)

1.组合式 C0n-2C1n+4C2n-8C3n+…+(-2)nCnn的值等于( )

A.(-1)n

B.1

C.3n

D.3n-1

解析:在(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn 中,令 x=-2,得原式=(1-2)n=(-1)n.

答案:A

2.从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有

入选的不同选法的种数为( )

A.85

B.56

C.49

D.28

解析:因为丙没有入选,所以只要把丙去掉,把总的元素个数变为 9 个,因为甲、乙至 少有 1 人入选,所以由条件可分为两类:一类是甲乙两人只选一个的选法有:C12·C27=42, 另一类是甲乙都入选的选法有 C22·C17=7,根据分类计数原理知共有 42+7=49 种选法,故选 C.

答案:C

3.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能

相邻出现,则这样的四位数有( )

A.6 个

B.9 个

C.18 个

D.36 个

解析:由题意知,1,2,3 中必有某一个数字重复使用 2 次,第一步确定谁被使用 2 次,

有 3 种方法;第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有 3 种方法;第

三步将余下的 2 个数放在四位数余下的 2 个位置上,有 2 种方法.故共可组成 3×3×2=18

个不同的四位数.

答案:C

4.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则 a6=( )

A.112

B.28

C.-28

D.-112

解析:(x-1)8=[(x+1)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,∴a6=C28(-

2)2=4C28=112.

答案:A

5.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ 2),P(X≤4)=0.84,则 P(X<0)=( )

A.0.16

B.0.32

C.0.68

D.0.84

解析:∵P(X≤4)=0.84,μ =2,∴P(X<0)=P(X>4)=1-0.84=0.16.

答案:A

6.甲、乙两人分别各自在 300 m 的直线形跑道上跑步,则在任一时刻两人在跑道相距不

超过 50 m 的概率是( )

A.16

B.13

C.1316

D.1356

解析:设甲、乙两人各自跑的路程为 x m,y m,

则?????00≤ ≤xy≤ ≤330000, , 表示的区域如图所示, 面积为 90 000 m2,

相距不超过 50 m,满足|x-y|≤50,表示的区域如图阴影所示,

其面积为 90 000-62 500 =27 500(m2),

故所求概率 P=2970

500 11 000=36.

答案:C

7.盒子中装有 6 件产品,其中 4 件一等品,2 件二等品,从中不放回地取产品,每次 1

件,共取 2 次,已知第二次取得一等品,则第一次取得二等品的概率是( )

A.130

B.35

1

2

C.2

D.5

解析:设“第二次取得一等品”为事件 A,“第一次取得二等品”为事件 B,则 P(AB)=

CC1216CC1451=145,P(A)=C14CC13+16C15C12C14=23,∴P(B|A)=PP

AB A

4 =125=25.
3

答案:D

8.罐中有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 球,记住颜色后再放回,连续摸取 4 次,设 X 为取得红球的次数,则 X 的方差 D(X)的值为( )

A.152

B.2245

C.85

D.2 5 6

解析:因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35,连续摸

4 次(做 4 次试验),X 为取得红球(成功)的次数,则 X~B???4,35???,∴D(X)=4×35×???1-35???

24 =25.

答案:B

9.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢 2 局者为胜.根据

经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( )

A.0.216

B.0.36

C.0.432

D.0.648

解析:由题意知,甲获胜有两种情况,

一是甲以

获胜,此时 P1=0.62=0.36;

二是甲以 获胜,

此时 P2=C12×0.6×0.4×0.6=0.288,

故甲获胜的概率 P=P1+P2=0.648.

答案:D

10.节日期间,某种鲜花进价是每束 2.5 元,销售价是每束 5 元;节后卖不出的鲜花以

每束 1.5 元的价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求服从如下表所

示的分布列:

X 200 300 400 500

P 0.20 0.35 0.30 0.15

若进这种鲜花 500 束,则期望利润是( )

A.706 元

B.690 元

C.754 元

D.720 元

解析:依题意,若进这种鲜花 500 束,利润应为 Y=(5-2.5)X-(2.5-1.5)×(500-X)

=3.5X-500.则 E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).所以 E(Y)

=E(3.5X-500)=3.5E(X)-500=3.5×340-500=690 元.

答案:B

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

11.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.8,至少有一人击中

目标的概率为________.

解:甲、乙射击击中目标分别为事件 A,B,则“两人各射击一次,至少有一人击中目标”

的概率为 P=P(AB)+[P(A B )+P( A B)]=0.64+0.32=0.96.

答案:0.96

12.某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商店在货架上排成一排,其中甲、乙两

种必须排在一起,而丙、丁两种不能排在一起,不同的排法共有________种. 解析:甲、乙作为元素集团,内部有 A22种排法,“甲乙”元素集团与“戊”全排列有 A22
种排法.将丙、丁插在 3 个空档中有 A23种方法.∴由分步计数原理,共有 A22A22A23=24 种排法. 答案:24

13.高三毕业时,甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念,已知甲、乙二人相邻,则

甲、丙相邻的概率是________.

解析:设“甲、乙二人相邻”为事件 A,“甲、丙二人相邻”为事件 B,则所求概率为

P(B|A),由于 P(B|A)=PP

AB A

,而 P(A)=2AA5544=25,AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”,

1 故 P(AB)=2AA5533=110,于是 P(B|A)=120=14.
5

答案:14

14.某个不透明的袋中装有除颜色外其他特征完全相同的 8 个乒乓球(其中 3 个是白色球,

5 个是黄色球),小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回),当摸到的球是

黄球时停止摸球.用随机变量 ξ 表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数,则随机变

量 ξ 的数学期望值 E(ξ )=________.

解析:ξ 的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

5 8

15 56

5 56

1 56

E(ξ )=1×58+2×5165+3×556+4×516=32.

答案:32

三、解答题(共 4 小题,共 44 分,解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤.)

15.(10 分)某市准备从 7 名报名者(其中男 4 人,女 3 人)中选 3 人参加三个副局长职务

竞选. (1)设所选 3 人中女副局长人数为 X,求 X 的分布列; (2)若选派三个副局长依次到 A,B,C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,B 局为

女副局长的概率. 解:(1)依题意,X 可取 0,1,2,3,

P(X=0)=CC3437=345,P(X=1)=CC13C37 24=1385, P(X=2)=CC23C37 14=1325,P(X=3)=CC3733=315, 故 X 的分布列为

X0

1

2

3

P

4 35

18 35

12 35

1 35

(2)记 D=“A 局是男副局长”,E=“B 局是女副局长”,则 P(E|D)=36× ×55=12.

16.(10 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放

回地先后抽出两张卡片,标号分别记为 x,y,记 ξ =|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 解:(1)因为 x,y 可能的取值为 1,2,3,所以|x-2|≤1,|y-x|≤2,所以 ξ ≤3,且当
x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,ξ =3.因此随机变量 ξ 的最大值为 3.因为有放回地抽出两张 卡片的所有情况共有 3×3=9 种,所以 P(ξ =3)=29.

因此,随机变量 ξ 的最大值为 3,事件“ξ 取得最大值”的概率为29.

(2)ξ 的所有取值为 0,1,2,3. 因为当 ξ =0 时,只有 x=2,y=2 一种情况; 当 ξ =1 时,有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四各种情况; 当 ξ =2 时,有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况. ∴P(ξ =0)=19,P(ξ =1)=49,P(ξ =2)=P(ξ =3)=29,

∴ξ 的分布列为:

ξ 0123

P

1 9

4 9

2 9

2 9

数学期望 E(ξ )=0×19+1×49+2×29+3×29=194.

17.(12 分)(xx·大纲全国卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 个需使用某种设备的概率

分别为 0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.

(1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率;

(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望.

解:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2, B 表示事件:甲需使用设备, C 表示事件:丁需使用设备, D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. (1)D=A1·B·C+A2·B+A2· B ·C. P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=Ci2×0.52,i=0,1,2, 所以 P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2· B ·C)
=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2· B ·C)
=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( B )P(C) =0.31. (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,其分布列为 P(X=0)=P( B ·A0· C )=P( B )P(A0)P( C ) =(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06, P(X=1)=P(B·A0· C + B ·A0·C+ B ·A1· C )
=P(B)P(A0)P( C )+P( B )P(A0)P(C)+P( B )P(A1)P( C ) = 0.6×0.52×(1 - 0.4) + (1 - 0.6)×0.52×0.4 + (1 - 0.6)×2×0.52×(1 - 0.4) = 0.25, P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06= 0.38, 数学期望 E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4) =0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2. 18.(12 分)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市 100 000 名男生的身高 服从正态分布 N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高,测量发现被 测学生身高全部介于 160 cm 和 184 cm 之间,将测量结果按如下方式分成 6 组:第 1 组 [160,164),第 2 组[164,168),…,第 6 组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图.

(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;

(2)求这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数;

(3)在这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人中任意抽取 2 人,将该 2 人中身

高排名(从高到低)在全市前 130 名的人数记为 ξ ,求 ξ 的数学期望. 参考数据:若 ξ ~N(μ ,σ 2),则 P(μ -σ <ξ ≤μ +σ )=0.682 6, P(μ -2σ <ξ ≤μ +2σ )=0.954 4, P(μ -3σ <ξ ≤μ +3σ )=0.997 4.

解:(1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×1500+166×1070

8

2

2

1

+170×100+174×100+178×100+182×100)×4=168.72,高于全市的平均值 168.

(2)由频率分布直方图知,后 3 组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为 0.2×50

=10,即这 50 名男生身高在 172 cm 以上(含 172 cm)的人数为 10.

(3)∵P(168-3×4<ξ ≤168+3×4)=0.997 4,

∴P(ξ ≥180)=1-0.2997 4=0.001 3,0.001 3×100 000=130.

∴全市前 130 名的身高在 180 cm 以上,这 50 人中 180 cm 以上的有 2 人.

随机变量 ξ 可取 0,1,2,于是 P(ξ =0)=CC21280=2485,P(ξ =1)=CC1821C012=1465,P(ξ =2)=CC21220=415,

∴E(ξ )=0×4258+1×4156+2×415=25.



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