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2019届湖北省沙市中学高三高考冲刺卷(五)数学(文)试题(word版)

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2016 级高三五月文数冲刺卷(五) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的。
? ? 1.已知集合 M ? ?x | x ? 1? , N ? x 2x ? 1 ,则 M N ?

A.?x | x ? 1? B.?x | x ? 0?

C.?x | 0 ? x ? 1? D. ?

2.已知

,则复数 的共轭复数 在复平面内所对应的点位于

A.第一象限

B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.为考察 A , B 两种药物预防某疾病的效果,进行实验,

得到等高条形 图,根据图中信息,下列说法最佳的一项是
A.药物 B 的预防效果优于药物 A 的预防效果 B.药物 A 的预防效果优于药物 B 的预防效果 C.药物 A 、 B 对该疾病均有显著的预防效果 D.药物 A 、 B 对该疾病均没有预防效果

4.已知定义域为 R 的函数 f (x) 不是奇函数,则下列命题一定为真命题的是

A. ?x ? R, f (?x) ? f (x)

B. ?x ? R, f (?x) ? ? f (x)

C. ?x0 ? R, f (?x0 ) ? f (x0 ) D. ?x0 ? R, f (?x0 ) ? ? f (x0 )

?x ? 2y ?2 ? 0 5.设变量 x , y 满足约束条件 ??x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为
?? y ? 2

A.7

B.6 C.5

D.4

6.已知某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几何体的体积是

A. 3cm3 B. 4cm3

C. 5 cm3

D. 6 cm3

7.已知两个等差数列 2,6,10,…,190 及 2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺

序组成一个新数列,则这个新数列的项数为

A.15

B.16

C.17

D.18

8.已知函数

f

?x?

?

?sin ?2x

?? ?(0<?<?)

的图像向右平移

? 6

个单位后,得到函数 g(x )的图像关于

直线

x

?

? 12

对称,若

g

?? ?? 2

?

? 4

? ??

?

?

3 5

,则 sin

? ??

2?

?

? 6

? ??

?

-1-

A. ? 7 25

B. ? 3 4

C. 7 25

3
D.
4

9.如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的边长为 1,动点 M 从 B1 点出发,在正方体表面上沿逆时针方 向运动一周后,再回到 B1 的运动过程中,点 M 与平面 A1DC1 的距离保持不变,则动点 M 运动的轨迹
围成的图形的面积为

A. 3

B. 3 2

C.1

D. 2

10.在△OAB 中, OA ? a , OB ? b , OD 是 AB 边上的高,若 AD ? ? AB ,

则实数 ? 等于

a??a ?b?
A. a ? b 2

a ??b ? a?
B. a ? b 2

a ??b ? a?
C.
a?b

a??a ?b?
D.
a?b

11.若椭圆 y2 ? x2 ? 1 与抛物线 x2 ? ay 有相同的焦点 F ,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,点 A 5

在抛物线上,且 AF ? 4 ,则 PA ? PO 的最小值为

A. 2 13

B. 4 2

C. 3 13

D. 4 6

12.若函数 f (x) ? 2exln(x ? m)+ex ? 2 存在正的零点,则实数 m 的取值范围是

A. (e, ??)

B. ( e, ? ?)

C. (??, e)

D. (??, e)

二、填空题:(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分)

13.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 b ? 1, a ? 2b ? 2 3 ,则 a ? __________. 3

14.已知在 ?ABC 中,内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,若 b sin B ? asin A ? 1asin C ,且 ?ABC 的面 2

积为 a2 sin B ,则 cos B =

.

15.在区间??1,1? 上随机取一个数 k ,使直线 y ? kx ? 5 与圆 x2 ? y2 ? 1 相交的概率为
2
__________.
16.将一半径为 R 的木质球打磨加工成一圆锥体物件,若使圆锥体积最大,则圆锥底面半径与球的半径之
-2-

比为

.

三、解答题:(共 7 小题,计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。)

? ? 17.已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 2an ? n n ? N* .

(1)证明:?an ?1? 是等比数列;

(2)求 a1 ? a3 ? a5 ? ? a2n?1 .

18. 已知直角 ?ABC ,斜边 AB ? 3, D, E1 在 AB 上,且 AE1 ? E1D ? DB , CD ? AB , E1F1 / /CD 交 AC 于 F1 ,将 ?CDA 沿 CD, E1F1折起,使 A 与 B 重合,得到几何体 BCDEF (如图) (1)求证:平面 BCF 平面 BCD . (2)求四棱锥 B ? DCFE 的体积.

19.某餐厅通过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 x(万
人)与餐厅所用原材料数量 y (袋),得到如下统计表:

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

参会人数 x (万人)

13

9

8

10

12

原材料 y (袋)

32

23

18

24

28

(1)根据所给 5 组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b?x ? a? .

(2)已知购买原材料的费用

C

(元)与数量

t

(袋)的关系为

C

?

?400t ? 20, 0 ? t ? 36,t

? ?

380t,t ? 36,t ? N

?

N

,投

入使用的每袋原材料相应的销售收入为 700 元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约

有 15 万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利

润,最大利润是多少?

(注:利润 L ? 销售收入 ? 原材料费用).

-3-

? ? ?? 参考公式: b? ?

n?
i ?1

xi ? x
? x n
i?1 i

?? yi ? ? x?2

y

?

?

x n
i?1 i

yi

?

nxy



a?

?

y

? b?x



x n 2
i?1 i

?

nx

2

5

5

5

? ? ? 参考数据: xi yi ? 1343 , xi2 ? 558 , yi2 ? 3237 .

i ?1

i ?1

i ?1

20.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C1:x2=4y,直线 l 与抛物线 C1 交于 A,B 两点.

(1)若直线

OA,OB

1 的斜率之积为-4,证明:直线

l

过定点;

(2)若线段 AB 的中点 M 在曲线 C2:y=4-14x2 (-2 2<x<2 2)上,求|AB|的最大值.

21.已知函数 f ? x? ? x ln x ? ax ?a ? R? . (1)求函数 f ? x? 的单调区间; (2)探究:是否存在实数 a ,使得 f ? x? ? a ? 0 恒成立?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理
由.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系

xOy

中,设倾斜角为 ?

的直线

l

的参数方程为

?x

? ?

y

? 3 ? t cos? ? t sin?

(t为参数)

,直线l 与

曲线 C:???x

?

1 cos?

(? 为参数)

相交于不同的两点

A,

B

.

?? y ? tan?

(1)若? ? ? ,求线段 AB 的中点的直角坐标; 3

(2)若直线 l 的斜率为 2,且过已知点 P(3, 0) ,求 PA ? PB 的值.

23.选修 4-5:不等式选讲
已知函数 f ? x? ? 1 x ? a ?a ? R? .
3
(1)当 a ? 2 时,解不等式 x ? 1 ? f ? x? ? 1;
3
-4-

(2)设不等式

x

?

1 3

?

f

?x?

?

x 的解集为 M

,若

? ??

1 3

,

1 2

? ??

?

M

,求实数 a 的取值范围.

-5-

2016 级高三五月文数冲刺卷(五)答案

1-12 CABDD CBCBA AD 13. 13.2

14. 3 4

15. 1 2

16. 2 2 3

17. 【解析】(1)由 S1 ? 2a1 ?1 得: a1 ? 1,···········1 分
? ? 因为 Sn ? Sn?1 ? ?2an ? n? ? 2an?1 ? ?n ?1? ?n≥2? ,

所以 an ? 2an?1 ?1,···········3 分

从而由

an

?1

?

?2 an?1

?1?



an ?1 an?1 ?1

?

2

? n≥2 ?

,···········5



所以?an ?1? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列.···········6 分

(2)由(1)得 an ? 2n ?1,···········8 分

所以

a1

?

a3

?

a5

???

a2n?1

?

(2

?

23

???

2 2 n ?1 )

?

n

?

2(1? 4n ) 1? 4

?

n

?

22n?1

? 3n 3

?

2

.·12



18. 【解析】(1)取 BD, BC 的中点分别为 M , N

MN ∥ 1 CD , MN = 1 CD , EF ∥ 1 CD , EF = 1 CD ,

2

2

2

2

?MN // EF ,且 MN ? EF ?四边形 MNEF 为平行四边形 ? EM // FN
又 DE ? BE ,? EM ? BD 又 CD ? 平面BDE ? EM ? CD

………2 分

? EM ? 平面BCD

………4 分

? FN ? 平面BCD

又? FN ? 平面BFC ? 平面BFC ? 平面BCD

………6 分

(2) CD2 ? AD? DB ? 2?1

? CD ? 2

………8 分

EF ? 2 2

( ? SCDEF ?

2?

2 2

) ?1

?

3

2

2

4

-6-

………10 分

又点 B 到平面 CDEF 的距离为 3 2

132 3 6

?VB?CDEF

?

? 3

4

? 2

?

8

………12 分

19.【解析】(1)由所给数据可得: x ? 13 ? 9 ? 8 ?10 ?12 ? 10.4 , 5

y ? 32 ? 23 ?18 ? 24 ? 28 ? 25 ,·······2 分 5

?? b? ?

x 5
i?1 i

yi

?

5xy

x 5 2
i?1 i

?

5x

2

?

1343 ? 5?10.4? 25 558 ? 5?10.42

?

2.5 , a?

?

y

? b?x

?

25 ? 2.5?10.4 ?

?1,··5 分

则 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 2.5x ?1.·······6 分

(2)由(1)中求出的线性回归方程知,当 x ? 15 时, y ? 36.5 ,即预计需要原材料 36.5 袋,

?400t ? 20, 0 ? t ? 36,t ? N

C?? 因为 ?

380t,t ? 36,t ? N



当 t ? 35 时,利润 L ? 700? 35 ? ?400? 35 ? 20? ? 10520 ;

当 t ? 36 时,利润 L ? 700? 36 ? 380? 36 ? 11520 ,

当 t ? 37 时,利润 L ? 700? 36.5 ? 380? 37 ? 11490 .
综上所述,餐厅应该购买 36 袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为 11520 元. ·······12 分
20. (1)证明:

由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx? m , A(x1, y1) , B(x2, y2 )

?x2 ? 4y 由?

得 x2 ? 4kx? 4m ? 0

?y ? kx? m

? ? 16(k 2 ? m) ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? ?4m

则 k OAkOB

?

y1 y2 x1x2

?

1 4

x12

1 4

x2 2

x1x2

?

x1x2 16

??m 4

由已知

k OAkOB

?

?

1 4

,得

m

? 1,满足 ?

?

0

?直线 l 的方程为 y ? kx?1,?直线 l 过定点(0,1)

-7-

……2 分 ……4 分 ……6 分

(2)设 M(x0,y0),由已知及(1)得 x0=x1+2 x2=2k,

y0=kx0+m=2k2+m,

将 M(x0,y0)代入 y=4-14x2(-2 2<x<2 2),得

2k2+m=4-14×(2k)2,

∴m=4-3k2.

……8 分

∵-2 2<x0<2 2,∴-2 2<2k<2 2,∴- 2<k< 2,

∵Δ =16(k2+m)=16(k2+4-3k2)=32(2-k2)>0, ∴- 2<k< 2,

故 k 的取值范围是(- 2, 2).

……9 分

∴|AB|= 1+k2· (x1 ? x2 )2 ? 4x1x2

= 1+k2 16(k 2 ? m)

=4 2· (k 2 ?1)(2 ? k 2 )

k2+ + -k2

≤4 2·

2

=6 2,

当且仅当

k2+1=2-k2,即

k=±

2 2 时取等号,

∴|AB|的最大值为 6 2.

21. 【解析】(1)依题意, f ?? x? ? lnx ?1? a ,·········1 分

令 f ?? x? ? 0 ,解得 lnx ? a ?1,故 x ? ea?1 ,·········3 分
? ? ? ? 故当 x ? 0, ea?1 时,函数 f ? x? 单调递减,当 x ? ea?1, ?? 时,函数 f ? x? 单调递增; ? ? ? ? ? ? 故函数 f x 的单调减区间为 0, ea?1 ,单调增区间为 ea?1, ?? .·········5 分

(2) g ? x? ? xlnx ? a ? x ?1? ,其中 x ? 0 ,

由题意知 g ? x? ? 0 在 ?0, ??? 上恒成立, g?? x? ? lnx ?1? a ,

? ? ? ? 由(1)可知,∴

g ? x? min

?

g ? x?极小

?

g

ea?1

? ? ? a ?1 ea?1 ? a ea?1 ?1 ? a ? ea?1 ,······7 分

∴ a ? ea?1 ? 0 ,记 G ?a? ? a ? ea?1 ,则 G??a? ? 1? ea?1 ,令 G??a? ? 0 ,得 a ? 1.·······9 分

当 a 变化时, G??a? , G ?a? 的变化情况列表如下:

-8-



G

?

a

? max

?

G ?a?极大

?

G ?1?

?

0 ,故 a

? ea?1≤0 ,当且仅当 a

? 1 时取等号,

又 a ? ea?1≥0 ,从而得到 a ? 1 .·········12 分

22.

【解析】(1)由曲线 C:???x ?

1 cos?

(?为参数) 可得曲线 C 的普通方程为 x2

?

y2

? 1····2 分

?? y ? tan?

当?

?

? 3

时,直线

l

的参数方程为

? ??

x

?

? ??

y

? ?

3? 1 2
3t 2

t

(t为参数)

代入曲线 C 的普通方程得: t2 ? 6t ?16 ? 0 ,·········3 分



A、B

对应的参数分别为 t1 , t2

,则线段

AB 的中点对应的参数 t

?

t1

? t2 2

?3

故线段

AB

的中点的直角坐标为

? ???

9 2

,

3

3 2

? ???

·········5



(2)若直线 l

的斜率为

2,则直线

l

的参数方程为

? ?? ? ?

x y

? ?

3? 2

1t 5 (t为参数) ·········7 分 t

?? 5

代入曲线 C 的普通方程并整理得: 3t2 ? 6 5t ? 40 ? 0



PA ? PB

?

t1

? t2

?

t1 ? t2

? 40 3

23. 【解析】(1)当 a ? 2 时,原不等式可化为 3x ?1 ? x ? 2 ? 3 .

①当 x ? 1 时,原不等式可化为 ?3x ?1? 2 ? x ? 3 ,解得 x ? 0 ,所以 x ? 0 ; 3
②当 1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 3x ?1? 2 ? x ? 3 ,解得 x ? 1,所以1 ? x ? 2 ; 3
③当 x ? 2 时,原不等式可化为 3x ?1? 2 ? x ? 3 ,解得 x ? 3 ,所以 x ? 2 . 2
? ? 综上所述,当 a ? 2 时,不等式的解集为 x | x ? 0或x ? 1 .·····5 分

(2)不等式 x ? 1 ? f ? x? ? x 可化为 3x ?1 ? x ? a ? 3x ,
3

依题意不等式

3x ?1

?

x?a

? 3x



? ??

1 3

,

1 2

? ??

恒成立,

-9-

所以 3x ?1? x ? a ? 3x ,即 x ? a ? 1,即 a ?1 ? x ? a ?1,

???a

?1

?

1 3

所以

? ???a

?

1

?

1 2

.解得 ? 1 ? a ? 4 ,

2

3

故所求实数

a

的取值范围是

????

1 2

,

4 3

? ??

.·····10



- 10 -



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