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【中小学资料】广东省汕头市潮阳南侨中学2018届高三数学下学期周4测(2)理

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2018 届第二学期高三年级理科数学周 4 测(2)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.

1. 己知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {x | 3x ? 1} ,则( )

A. A ? B ? {x | x ? 0}

B. A ? B ? R

C. A ? B ? {x | x ? 1}

D. A ? B ? ?

2. 若复数 z ? ?? cos? ? 4 ?? ? ??sin? ? 3 ??i 是纯虚数( i 为虚数单位),则 tan??? ? ? ?? 的值为

?

5? ?

5?

? 4?

()

A. ? 7

B. ? 1

C.7

7

D. ? 7 或 ? 1 7

3. 在各项均为正数的等比数列{an} 中, a1 ? 2 ,且 a2、a4 ? 2、a5 成等差数列,记 Sn 是数

列{an} 的前 n 项和,则 S5 ? ( )

A.32

B.6 2

C.27

D.81

4. 已知 a ? (1,3) , b ? (?2, k) ,且 (a ? 2b) //(3a ? b) ,则实数 k ? ( )

A. ? 6

B. ? 5

C.5

D.6

5.设函数

f

(x)

?

?1 ? log2(2 ? ??2x?1, x ? 1

x),x ? 1


f

(?2) ?

f (log 212)

?(

)

A.3

B.6

C.9

D.12

6. 已知函数 f (x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,| ? |? ? ) 的最小正周期为 ? ,且其图象向左平移 ?

2

3

个单位后得到函数 g(x) ? cos?x 的图象,则函数 f (x) 的图象( )

A.关于直线 x ? ? 对称 12
C.关于点 ?? ? ,0?? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ? 5? 对称 12
D.关于点 ?? 5? ,0?? 对称 ? 12 ?

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩,老师说:你们四人中有 2

位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看

后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则( )

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A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

8. 如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )

A. x ?1 x

B. x2

C. sin x

D. e x

?x ? 2

9.

已知实数

x、y

满足约束条件

? ?

y

?

2

,则 z ? 2x ? 4 y 的最大

??x ? y ? 6

值为( )

A.24

B.20

C.16

D.12

10.设 F1、F2 为椭圆

x2 9

?

y2 5

? 1的两个焦点,点 P 在椭圆上,若

线段

PF1

的中点在

y

轴上,则

| |

PF2 PF1

| |

的值为(

)

A. 5 14

B. 5 13

C. 4 9

D. 5 9

11.若 x ? ?2 是函数 f (x) ? (x2 ? ax ? 1)ex?1的极值点,则 f (x) 的极小值为( )

A. ?1

B. ? 2e?3

C. 5e?3

12.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线及粗虚线画出的

是某多面体的三视图,则该多面体的体积为( )

A.8

B.4

C.3

D. 8

3

D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13.在 ?ABC中,边 AB 的垂直平分线交边 AC 于 D ,若

C ? ? , BC ? 8 , BD ? 7 ,则 ?ABC 的面积为



3

14. (x ? 2 y ? 3)5 的展开式中, x4 y 的系数为

.(用数字填写答案)

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15.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

?

0) 的一条渐近线被圆 x2

?

y2

? 6x

?5?

0 截得的弦长

为 2,则该双曲线的离心率为



16.正项数列{an}的前 n

项和为

Sn

,且 2Sn

?

an2

?

an (n ?

N?)

,设 cn

?

(?1)n

2an ? 1 ,则数 2Sn

列{cn}的前 2016 项的和为



三、解答题:本大题共 2 小题,满分 22 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)

在直角坐标系

xOy

中,曲线 C1

的参数方程为

?x ? ?y

? ?

3 cos? s in ?

(?

为参数),以坐标原点为

极点,以

x

轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2

的极坐标方程为

?

sin??? ?

?

? 4

?? ?

?

2

2.

(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;

(2)设点 P 在 C1 上, 点 Q 在 C2 上,求| PQ | 的最小值及此时 P 的 直角坐标.

18.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x2 ? ax ? b , g(x) ? ex (cx ? d ) ,若曲线 y ? f (x) 和曲线 y ? g(x) 都 过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4x ? 2.
(1)求 a、b、c、d 的值; (2)若 x ? ?2 时, f (x) ? kg(x) ,求 k 的取值范围.

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一、选择题 AABAC CDABB AD

参考答案

二、填空题
13. 20 3 或 24 3

14.10

15. 6 2

16. ? 2016 2017

三、解答题

17.(本小题满分 10 分)

【解析】(1)因为 ?? ?

x 3

2
? ? ?

?

y2

? 1,所以 C1 的普通方程为

x2 3

?

y2

? 1.

……2 分

由 .? sin(? ? ? ) ? 2 2 可 得 4

2 2

(?

s

? i? ?nc

?o) ? 2s 2





y ? ? s ? ix ? n? c ?o,所以s C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0.

……4 分

(2)依题意,可设点 P 的坐标为 ( 3 cos? , sin ? ) ,因为 C2 是 直线,所以| PQ | 的最小值

就是 P 到直线 的距离 d , d ? | 3 cos? ? sin? ? 4 | ? 2 sin??? ? ? ?? ? 2. ……8 分

2

? 3?

当? ? ? ? 2k? ? ? ,即? ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时, d 取得最小值,最小值为

3

2

6

2 ,此时



P

的直角坐标为

?? ?

3 2

,

1 2

?? ?



……10 分

18.(本小题满分 12 分)

? f (0) ? b ? 2

?a ? 4

【解析】(1)依题意,有

?? f ?(0) ? a ? 4 ??g(0) ? d ? 2

,所以

??b ??c

? ?

2 2



??g?(0) ? c ? d ? 4

??d ? 2

……4 分

(2)法 1:(通过猜想减少分类讨论)令 x ? 0 ,可得 kg(0) ? f (0) ,即 k ?1.……5 分

构造函数 F (x) ? kg(x) ? f (x) ? kex (2x ? 2) ? x 2 ? 4x ? 2 ,则

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F?(x) ? (kex ?1)(2x ? 4) ,

令 F?(x) ? 0 ,可得 x1 ? ?ln k , x2 ? ?2.

……7 分

①若 ? ln k ? ?2 ,即 k ? e2 ,此时 F?(x) ? 0 ,所以 F(x) 在 [?2,??) 上单调递增,而

F (?2) ? ?2ke?2 ? 2 ? 0,所以 F (x) ? 0 不恒成立,即 f (x) ? kg(x) 不恒成立,……8 分

②若 ? ln k ? ?2 ,即 k ? e2 ,此时 F?(x) ? 0 ,所以 F(x) 在 [?2,??) 上单调递增,而

F (?2) ? ?2ke?2 ? 2 ? 0 ,所以 F (x) ? 0 恒成立,即 f (x) ? kg(x) 恒成立. ……9 分

③若 ? ln k ? ?2 ,即1 ? k ? e2 ,此时当 x ? (?2, x1) 时, F?(x) ? 0 ,当 x ? (x1,??) 时 F?(x) ? 0 , 所 以 F(x) 在 [?2,??) 上 最 小 值 为

F (x1) ? 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 ? ?x1(x1 ? 2) ? 0 ,所以 F (x) ? 0 恒成立,即 f (x) ? kg(x) 恒

成立.

……11 分

综上所述, k 的取值范围为[1,e2 ].

……12 分

法 2:(分离参数法) x2 ? 4x ? 2 ? kex (2x ? 2) 在[?2,??) 上恒成立. ……5 分

①当 x ? ?1时,有 ?1? 0 ,成立.

……6 分

②当

? 2 ? x ? ?1

时,问题可

?

k

?

x2 ? 4x ? 2 ex (2x ? 2)



[?2,?1)

上恒成立,令

h(x)

?

x2 ? 4x ? 2 ex (2x ? 2)



h?(x) ?

(2x ? 4)ex (2x ? 2) ? (x2 ? 4x ? 2)ex (2x ? 4) e2x (2x ? 2)2

?

?

2x(x ? ex(2x ?

2)2 2)2

?0

,所以

h(x)



[?2,?1) 上递增,所以 k ? h(?2) ? e 2 .

……9 分

③当

x

?

?1时,问题可 ?

k

?

x2 ? 4x ? 2 ex (2x ? 2)

在 (?1,??) 上恒成立.由②可知

h?( x)

?

2x(x ? 2)2 ex (2x ? 2)2

.当 ?1 ?

x

?

0 时,h?(x)

?

0 ;当

x

?

0 时,h?(x)

?

0 .所以 h(x)

在 (?1,0)

上递增,在 (0,??) 上递减,所以 k ? h(0) ? 1.

……11 分

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综上所述, k 的取 值范围为[1,e2 ].

……12 分

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