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最新文档-北京工业大学机械制图ppt课件-PPT精品文档_图文


妙缘书斋 docin/see161 [课件、论文、各类书籍下载]

第二章 正投影基础 第三章 组合体 第四章 轴侧图

第五章 机件的表达方法
第六章 标准件和常用件 第七章 零件图 第八章 装配图
结束

2.1 投影的形成及常用的投影方法

2.2点、线、面的投影 2.3 几何元素的相对位置
2.4 换面法 2.5 体的投影及三视图

2.6 平面体与回转体的截切
2.7 两立体相交

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点线面

2.2.1 点的投影

2.2.2 直线的投影

2.2.3 平面的投影

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截切
2.6.1 平面立体的截切

2.6.2 回转体体的截切

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3.1 组合体的组成方式 3.2 组合体的画图方法

3.3 组合体的看图方法 3.4 组合体的尺寸标注

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4.1 轴侧图的基本知识
4.2 正等轴侧图 4.3 斜二轴侧图 4.4 轴侧图中剖切画法

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5.1 视图
5.2 剖视图 5.3 剖面图 5.4 简化画法

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6.1 螺纹和螺纹紧固件 6.2 齿轮 6.3 键与销 6.4 弹簧 6.5 滚动轴承
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7.1 零件图的作用与内容
7.2 零件图的视图选择 7.3 零件结构工艺性 7.4 零件图的尺寸标注与工艺性 7.5 画零件图的步骤与方法 7.6 零件图的看图方法与步骤 7.7 零件图的技术要求

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8.1 装配图的作用与内容

8.2 装配图的表达方法
8.3 装配图的视图选择 8.4 装配图的尺寸标注零件编号和明细表 8.5 装配结构的合理性 8.6 画装配图的方法和步骤 8.7 装配图的读图和拆画零件图

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2· 1 投影的形成及常用的投影方法
画透视图

中心投影法
投影方法 平行投影法

画斜轴测图 斜角投影法 直角投影法(正投影法)

画工程图样 及正轴测图
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中心投影法
投射中心 投射线 物体 投影 投影面

物体位置改 变,投影大 小也改变

投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差
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平行投影法
且投 垂射 直线 于互 投相 影平 面行 且投 倾射 斜线 于互 投相 影平 面行 斜角投影法

直角(正)投影法









投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
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2.2.1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A的投射线 与投影面P的交点即为点 A在P面上的投影。 点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
解决办法?
A


P


a?

P
B3


B2


B1




b?

采用多面投影。
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二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面(简称正 面或V面) ◆水平投影面(简称水 平面或H面) ◆侧面投影面(简称侧 面或W面)
V Z

X

o

W

H

Y

投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线 三个投影面 互相垂直
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空间点A在三个投影面上的投影
a? 点A的正面投影
Z V a● ?


a

点A的水平投影

A

X



a?

a? 点A的侧面投影
空间点用大写字母 表示,点的投影用 小写字母表示。

o a●
H

W

Y

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投影面展开
不动
Z Z

向右翻

V

a?


az
O



a?

W

V

a?



az


X

ax a H


ay

Y

X

ax

A O



a? W

ay
Y

a 向下翻



ay
Y

H

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返回

a● ?
X

Z

az
O



a?
V

Z

a??


az


ax

ay

Y
X

ax

A O



a?

W

a



Y

ay

a



ay
H

点的投影规律:

Y

① a?a⊥OX轴 a?a?⊥OZ轴 ② aax= a?az=y=A到V面的距离 a?ax= a?ay=z=A到H面的距离 aay= a?az=x=A到W面的距离
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例:已知点的两个投影,求第三投影。
解法一:
a?● ax az


a?

通过作45°线 使a?az=aax

a● 解法二:
a?● az


a?

用圆规直接量 取a?az=aax

ax

a●

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三、两点的相对位置
两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。
a?


Z a?


b?




b? YW

X
a


判断方法:
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上

b



YH

B点在A点之 前、之右、之 下。
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四、重影点:

A、C为H面的重影点
a?
● ●

空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时,则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )

a? c?

c?●



a (c )



A、C为哪个投 影面的重影点 呢?

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2.2.2直线的投影
两点确定一条直线,将两 点的同名投影用直线连接, 就得到直线的同名投影。 一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
A● M● B● a≡b≡m


a● ?




a?


b?

b?

a● b
● ●

B ● A●


B

A● b a●

α


b

a●

直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性

直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB

直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
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⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
正平线(平行于V面)

投影面平行线 侧平线(平行于W面) 平行于某一投影面而
水平线(平行于H面) 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜

投影面垂直线

正垂线(垂直于V面) 侧垂线(垂直于W面) 铅垂线(垂直于H面)

垂直于某一投影面

一般位置直线

与三个投影面都倾斜的直线

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⑴ 投影面平行线 水平线
a? a b? a? b?

实长 a?
b?
b
α γ

正平线
a? b? a? b?

侧平线
β

a? 实长
α

b?

β

a
γ

b

a

b

实长

与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角: γ

投 影 特 性: ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长, 并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。
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⑵ 投影面垂直线
铅垂线
a?

正垂线
c?(d?)


侧垂线
e? f? e?(f?)


a?
b?

d? c?

b? a(b)


d

c

e

f

投影特性:
① 在其垂直的投影面上,投影有积聚性。 ② 另外两个投影,反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。
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⑶ 一般位置直线
b? a? a b a? b?

投影特性:
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实大,且与三根 投影轴都倾斜。

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二、直线与点的相对位置
判别方法:
◆ 若点在直线上, 则 点的投影必在直线的同 名投影上。并将线段的 同名投影分割成与空间 相同的比例。即:
V a? c?
C A

b?
B

AC/CB=ac/cb= a?c? / c?b?

a

c

b H

◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上, 则 该点必不在此直线上。

定比定理
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例1:判断点C是否在线段AB上。
① a?
c?

b?



a?

c?



b? b a c b

a

c

点C在直 线AB上

点C不在 直线AB上

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例2:判断点K是否在线段AB上。
a? k?● b?
a k● b a?


k?

b?

因k?不在a? b?上, 故点K不在AB上。

另一判断法?

应用定比定理

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三、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为: 平行、相交、交叉。 投影特性: ⒈ 两直线平行
b?

a?
A a

B c?

d?

V

C c

D

空间两直线平 行,则其各同名投 影必相互平行,反 之亦然。
H

b

d

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例1:判断图中两条直线是否平行。

a? a
b? c? c b d d?

对于一般位置直 线,只要有两个同名 投影互相平行,空间 两直线就平行。

AB//CD

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例2:判断图中两条直线是否平行。

c? c?

a?
d?

a? b? d?

b?
b

c
d a 如何判断?

对于特殊位置直线, 只有两个同名投影互相 平行,空间直线不一定 平行。 求出侧面投影后可知: AB与CD不平行。

求出侧面投影

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⒉ 两直线相交
V a? A a

c?

k?
C

b? d? K D d k B

交点是两直 线的共有点
c? a? b?

k?
d?

c

b
H

a
c k

d b

判别方法:

若空间两直线相交,则其同名投影必 相交,且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。
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例:过C点作水平线CD与AB相交。
b?
c?● a? k? d?

a c k


d b

先作正面投影

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⒊ 两直线交叉
a? c? c a 1?(2? ) 3? 4?


d?

为什么? : 投影特性 两直线相交吗?
b?







2


b d

1 3(4 )


Ⅰ、Ⅱ是V面的重影点, Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。

★ 同名投影可能相交, 但 “交点”不符合空间 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影, 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
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⒋ 两直线垂直相交(或垂直交叉)
直角的投影特性:
若直角有一边平行于投影面,则它在该投影面 上的投影仍为直角。 证明:
B A b a C

b?
a?
.

c H
c?

设 因 所以 又因 故 因此 即

直角边BC//H面 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb BC⊥ABba平面 BC∥bc bc ⊥ABba平面 bc⊥ab ∠abc为直角
直线在H面上的 投影互相垂直
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b c

a

例:过C点作直线与AB垂直相交。
a?
.

d? b?

AB为正平线, 正 面投影反映直角。

c?
c a





d

b

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小 结
重点掌握:
★点与直线的投影特性,尤其是特殊位置 直线的投影特性。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。 ★定比定理。 ★直角定理,即两直线垂直时的投影特性。

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一、点的投影规律 ① a?a⊥OX轴 a?a?⊥OZ轴
X

a?


az

Z



a? ay
Y

ax a


O

Y

ay

② aax= a?az=y=A到V面的距离 a?ax= a?ay=z=A到H面的距离 aay= a?az=x=A到W面的距离
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二、各种位置直线的投影特性
⒈ 一般位置直线
三个投影与各投影轴都倾斜。

⒉ 投影面平行线
在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。

⒊ 投影面垂直线
在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。

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三、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比,点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 四、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交,交点是两直线的共有点, 且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉(异面) 同名投影可能相交,但“交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。
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五、相互垂直的两直线的投影特性 ⒈ 两直线同时平行于某一投影面时,在该 投影面上的投影反映直角。

⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时, 在该投影面上的投影反映直角。
⒊ 两直线均为一般位置直线时, 在三个投影面上的投影都不 反映直角。
直角定理

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2.2.3 平面的投影
一、平面的表示法
c? ● c? ●
● a? ● a?

c? ●



c?



c?

a● ?
b? ●b


a● ? d ? ●
b? ● b
● ●

a● ? b? ● b


b? ●b


b? ●b


a

● ●

a●
c


a●
c


● a d


a●


c

c

c

不在同一 直线上的 三个点

直线及 线外一 点

两平行直 线

两相交 直线

平面 图形

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二、平面的投影特性
⒈ 平面对一个投影面的投影特性

平行

垂直

倾斜 实形性

投 影 特 性
★ 平面平行投影面-----投影就把实形现 ★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线 ★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面
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积聚性
类似性
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⒉ 平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类:
垂直于某一投影面, 倾斜于另两个投影面

投影面垂直面 特殊位置平面

正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面

平行于某一投影面, 垂直于另两个投影面

投影面平行面 一般位置平面

与三个投影面都倾斜

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⒈ 投影面垂直面
为什么? 类似性 是什么位置 的平面? a? b? c? c?
β

b?

类似性
a?

积聚性
a
γ

c

b

铅垂面

投影特性: 在它垂直的投影面上的投影积聚成直 线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。
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⒉ 投影面平行面
积聚性
a? b? c? a? c? b?

积聚性

a

实形性
b

c

水平面

投影特性: 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。
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⒊ 一般位置平面
b? c? a? a? b? c?

投影特性:

三个投影都类似。

b
a

c

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三、平面上的直线和点 ⒈ 平面上取任意直线
判断直线在平面 内的方法 定 理 一 若一直线过平面 上的两点,则此 直线必在该平面 内。 定 理 二 若一直线过平面上的 一点,且平行于该平 面上的另一直线,则 此直线在该平面内。
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例1:已知平面由直线AB、AC所确定,试 在平面内任作一条直线。 根据定理一 解法一
m? a? m b n c b? n? c? a? b d c

根据定理二 解法二
b? c?

d?

a

a

有无数解。
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有多少解?

例2:在平面ABC内作一条水平线,使其到 H面的距 离为10mm。
a? m? 10 b? b n? c? c 有多少解?

唯一解!

m
a

n

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⒉ 平面上取点
面上取点的方法:

首先面上取线

先找出过此点而又在平面内的一条直线作 为辅助线,然后再在该直线上确定点的位置。

例1:已知K点在平面ABC上,求K点的水平投影。

k?● a? a c 利用平面的积聚性求解 k


b? c?



b? d? k? ●

c?

a? b b

a



k

d

c 通过在面内作辅助线求解
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例2:已知AC为正平线,补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一
a? k? b?

解法二
c? a?

b?

c?

d? d a k b c a

d? d c b
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2.3 几何元素的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题
包 括

直线与平面平行 平面与平面平行

⒈ 直线与平面平行

定理:
若一直线平行于平面上的某一直 线,则该直线与此平面必相互平行。
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例1:过M点作直线MN平行于平面ABC。
有多少解? a? b?

有无数解
n?
c? m ?


b
n a


c

m

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返回

例2:过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b? c?m?


n?

正平线

a? a

c m


n

b

唯一解

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⒉ 两平面平行
① 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 一平面上的两相交直 线,则这两平面相互 平行。 ② 若两投影面垂直面 相互平行,则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
a?

b?
c? d? c a d b b? d? a? c? e?

e?

f?

f e

f?
h?

a c

b

d

f e
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h

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二、相交问题
直线与平面相交 平面与平面相交 ⒈ 直线与平面相交 直线与平面相交,其交点是直线与平 面的共有点。 要讨论的问题: ● 求直线与平面的交点。 ● 判别两者之间的相互遮挡关系,即判别可 见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个 处于特殊位置的情况。
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例:求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析 b? n? 平面ABC是一铅垂面, 其水平投影积聚成一条直 k? 1?(2?) 线,该直线与mn的交点即 a? ● 为K点的水平投影。 c? m? 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知, KN k b 1 a n 段在平面前,故正面投 影上k?n?为可见。 还可通过重影点判别可见性。
● ●

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⑵ 直线为特殊位置
b? m?

k?
a?





n?

1?(2?)

c?

b
k● 2 m(n) ● 1


a

c

空间及投影分析 直线MN为铅垂线,其 水平投影积聚成一个点, 故交点K的水平投影也积聚 在该点上。 作图 用面上取点法 ① 求交点 ② 判别可见性 点Ⅰ位于平面上,在 前;点Ⅱ位于MN上,在 后。故k? 2?为不可见。
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⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线,交线是两平 面的共有线,同时交线上的点都是两平面的 共有点。

要讨论的问题:
① 求两平面的交线 方法: ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系,即: 判别可见性。 只讨论两平面中至少有一个处于特 殊位置的情况。
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例:求两平面的交线 MN并判别可见性。

a? b? e? ● m?(n?)

空间及投影分析
平面ABC与DEF都 为正垂面,它们的正面投 影都积聚成直线。交线必 为一条正垂线,只要求得 交线上的一个点便可作出 交线的投影。

f?
c?

d?
a d




n

e

作 图
c
f

m

① 求交线 ② 判别可见性 在交线左侧,平面ABC 在上,其水平投影可见。
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b

能否不用重 能! 从正面投影上可看出, 影点判别?

如何判别? 可通过正面投影 直观地进行判别。

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b? e? m ? f? ● a? e
● ● ●

空间及投影分析
n? 1? ● 2? c? h? 平面EFH是一水平面,它的 正面投影有积聚性。a?b?与e?f? 的交点m? 、 b? c?与f ?h?的交点 n?即为两个共有点的正面投影, 故m?n?即MN的正面投影。

b m n



作 图
h
1(2)

a f

c

① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上,点Ⅱ在BC上, 点Ⅰ在上,点Ⅱ在下,故fh 可见,n2不可见。
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f? m ? d? ●

b? k● ? n?

投影分析


e?

a?
f m● a d


c?
b e k


n c

N点的水平投影n 位于Δdef的外面,说 明点N位于ΔDEF所确 定的平面内,但不位 于ΔDEF这个图形内。 所以ΔABC和 ΔDEF的交线应为MK。
互交
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小 结
重点掌握:
一、平面的投影特性,尤其是特殊位置平面的 投影特性。 二、如何在平面上确定直线和点。 三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。 四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。 解题思路: ★空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。 ★判别可见性 尤其是如何利用重影点判别。
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一、各种位置平面的投影特性 ⒈ 一般位置平面
三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。

⒉ 投影面垂直面
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 ——积聚性。 另外两个投影类似。

⒊ 投影面平行面
在其平行的投影面上的投影反映实形 ——实形性。 另外两个投影积聚为直线。
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二、平面上的点与直线
⒈ 平面上的点 一定位于平面内的某条直线上

⒉ 平面上的直线 ⑴ 过平面上的两个点。 ⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。

三、平行问题
⒈ 直线与平面平行 直线平行于平面内的一条直线。 ⒉ 两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。
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四、相交问题
⒈ 求直线与平面的交点的方法 ⑴ 一般位置直线与特殊位置平面求交点,利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。 ⑵ 投影面垂直线与一般位置平面求交点,利用 交点的共有性和直线的积聚性,采取平面上 取点的方法求解。 ⒉ 求两平面的交线的方法 ⑴ 两特殊位置平面相交,分析交线的空间位置, 有时可找出两平面的一个共有点,根据交线 的投影特性画出交线的投影。 ⑵ 一般位置平面与特殊位置平面相交,可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点,求出交线。
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2.4
一、问题的提出

换面法

★ 如何求一般位置直线的实长? ★ 如何求一般位置平面的真实大小? 解决方法:更换投影面。 换 面 法: 物体本身在空间的位置不动,而用某 一新投影面(辅助投影面)代替原有投影 面,使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置,然后将物体向新投影面进 行投射。
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二、新投影面的选择原则
a?
V P

A B a
H

a'1 b'1

b?

? 平行于新的投影面 ? 垂直于新的投影面

b

1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面, 以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
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三、点的投影变换规律 ⒈ 更换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V

?

a? ax
. ?a'1

a?

?

?

?

A

a' ? 1
?

?

P1

X

V H

ax
X

?
?

ax1
H P1 X1

ax1
H X1

a

?

a

P1 V ? 新投影体系 X1 — ? 旧投影体系 X — H H A点的两个投影:a,a'1 A点的两个投影:a, a?
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新旧投影之间的关系
a? ?
?

?

a? ax
.

V

?

A

a' ? 1P1
?

? X V

?a'1

H

ax1
P1 H X1

ax
X

?
?

ax1
H X1

a

?

a

? a'1ax1 = a?ax 一般规律: ? 点的新投影和与它有关的原投影的连线,必垂直 于新投影轴。 ? 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。
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? aa'1 ? X1

⑶ 求新投影的作图方法
更换V面
a? ?
?

更换H面
a'1 XV H

X1 P 1 V
.

? a1

a??
ax
?

ax1

V X H

ax

ax1
.



a?

H

P1 X1

a?

作图规律: 由点的不变投影向新投影轴作垂线, 并在垂线上量取一段距离,使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
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⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
V
P2 X2
?

a2

?

ax2
?
?

按次序更换 P1

a? ?

ax
X

?

A
?
?

?

a'1

a?
H

?

ax1 X1

P1 X — 1 先把V面换成平面P1, P1?H,得到中间新投影体系: H P1 X — 2 再把H面换成平面P2, P2? P1,得到新投影体系: P2

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⑵ 求新投影的作图方法
a? ?
?

作图规律
a2a'1 ? X2 轴 a2ax2 = aax1
?

V X H

ax

a2

a? ax1 H X1 P1
.

ax2 .

? a' 1

P2 P1 X 2

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四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例:求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析: 用P1面代替V面,在P1/H投影体系中,AB//P1。 b? 作图: P1 a? a? a'1
V

b?

A

X

V

B

b'1

H

b a
H
.

a
X1
H

b

P1

a'1



?

b'1



换H面行吗? 不行!

新投影轴的位置?
与ab平行。
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2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析: 一次换面把直线变成投影面平行线;
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2

作图:
b?
X
V H

V

b? P2

a2?b2
?

ax2 b'1
P1

a?
b

a? b a
.

B A

a'1

X

a H

H1 ● X1 P1a'1 X1



? b'1 a2 ?b2

X2轴的位置?
与a'1b'1垂直
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3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析: 两平面垂直需满足什么条件? 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线,那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法:
在平面内取一条 一般位置直线变换 V 投影面平行线,经一 成投影面垂直线,需经 次换面后变换成新投 几次变换? 影面的垂直线,则该 能否只进行一次变换? a? 平面变成新投影面的 垂直面。 X 思考: 若变换H面,需在面 内取什么位置直线?
c?
C

P1

c'1 a'1?d'1 b'1
X1

d? b?
A B D

a

正平线!

b H

d

c

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例:把三角形ABC变换成投影面垂直面。
a?
V X H

b?
d?

c?
a b c H d
.

作 图 过 程: ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
α
a'1?d'1
● ●

c'1 X 1 P1



d'1

反映平面对哪 个投影面的夹角?

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4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析:
需经几次变换? 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面; 二次换面,再变换成新投影面的平行面。 AB是水平 c? 作 图: 线 a2 ● a? b?
X V H

a


. b . a'1?b'1

b2●


c2

c
H P1 X1

平面的实形

c'1
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X2轴的位置? 与其平行

五、换面法的应用
? 求C点到直线AB的距离, c? 就是求垂线CD的实长。 如下图:当直线AB 垂直于投影面时,CD平 行于投影面,其投影反映 实长。
AD C B a?b?d P c X

例1:求点C到直线AB的距离,并求垂足D。 空间及投影分析: 作图:
b? a? d? b a
H X1 P 1
.

V H

c? d

距离

1 . a'1 d'
?

?

?b2?d2 b'1. a2?
P1 P2 X2
? c 2

? 如何确定d1 c'1 点的位置? 过c'1作线平行于x2轴。

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例2:已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN, N 且AB为水平线,求CD及MN的投影。 M

作图:
c● ? a? XV H



d?

n● ?


空间及投影分析:
当直线AB垂直于投影 面时,MN平行于投影面, 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
C N

m?

b?

M
B a1m1b1 D

a c

●m ●

n

d b

d'1
.


a'1≡b'1≡m'1
● ●

P1
.

c1

n1

d1

n'1

请注意各点的投 H P 1 影如何返回? X1 求m点是难点。

c'1
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圆半径=MN

例3: 过C点作直线CD与AB相交成60? 角。
空间及投影分析:AB与CD都平行于投影面时,其投影
的夹角才反映实大(60°),因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。 ? ● 作 图: c 几个解? 两个解! a2 ● a? d? b?
X

V H

a c


d●

b

b2●
. .

d2


60°


D点的投影 如何返回? c2 如何解?

a'1?b'1


解法相同! 思考: 已知点C是等边三角形的顶点,另两个顶点在直线AB上, 求等边三角形的投影。 上页 下页 返回

H P 1 X1

P2 c'1 P1 X 1


例4:求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析: 在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时,则两平面 由几何定理知:两面角为两平面同时与第三平面垂直相交 垂直于该投影面,它们的投影积聚成直线,直线间的夹角为 时所得两交线之间的夹角。 所求。 d? a? XV H c? a c b


b? a'1 d'1
● ●

θ c'1
.


b'1
.

d

a2≡ b2



θ




c2

d2
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小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置,使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件, 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系, 同时又有利于解题需要,这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础,四个基本 问题是解题的基本作图方法,必需熟练掌握。
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换面法的四个基本问题:

1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
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四、解题时一般要注意下面几个问题: ⒈ 分析已给条件的空间情况,弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置,并把这些条件 抽象成几何元素(点、线、面等)。 ⒉ 根据要求得到的结果,确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置(垂 直或平行),据此选择正确的解题思路与方 法。 ⒊ 在具体作图过程中,要注意新投影与原投影 在变换前后的关系, 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果,又能将结果返回到原投 影体系中去。
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2.5.1 体的投影及三视图
一、体的投影
体的投影,实质上是构成该体的所 有表面的投影总和。
V

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二、三面投影与三视图
视图就是将物体向投 影面投射所得的图形。 主视图(front view) 体的正面投影
俯视图(vertical view) 体的水平投影 左视图(left view) 体的侧面投影


1.视图的概念




2.三视图之间的度量对应关系
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应

三等关系

长对正 高平齐 宽相等
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3.三视图之间的方位对应关系

左 右 后




下 后 左


下 右

? 主视图反映:上、下 、左、右 ? 俯视图反映:前、后 、左、右 ? 左视图反映:上、下 、前、后
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2.5.2基本体的形成及其三视图
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体

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一、平面基本体
1.棱柱 ⑴ 棱柱的组成
由两个底面和几个侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线,侧棱线相互平行。

点的可见性规定: 底面为水平面,在俯视图中反映 由于棱柱的表面都是平 若点所在的平面的投影 实形。前后两侧棱面是正平面, 面,所以在棱柱的表面上取 其余四个侧棱面是铅垂面,它们 可见,点的投影也可见;若 点与在平面上取点的方法相 的水平投影都积聚成直线,与六 同。 平面的投影积聚成直线,点 边形的边重合。 的投影也可见。

⑵ 棱柱的三视图 ⑶ 棱柱面上取点 在图示位置时,六棱柱的两

a ? ?

a ? ?
(b ) ?

?

?

b?

b?

a?
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2.棱锥 ⑴ 棱锥的组成
由一个底面和几个 侧棱面组成。侧棱线交 于有限远的一点——锥 顶。
s? s ? ?

?

⑵ 棱锥的三视图
棱锥处于图示位置时, ⑶ 在棱锥面上取点

k ? ?
a? a

其底面ABC是水平面,在 同样采用平面上取点法。 俯视图上反映实形。侧棱 面SAC为侧垂面,另两个 侧棱面为一般位置平。

k ? ? n ? ? ? (n?) b? c? a?(c?) b? c s ? ? k n?
b
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二、回转体
1.圆柱体
⑴ 圆柱体的组成 由圆柱面和两底面组成。 圆柱面是由直线AA1绕与 它平行的轴线OO1旋转而成。 直线AA1称为母线。 圆柱面上与轴线平行的任 一直线称为圆柱面的素线。

O A

O1 A1 a?? a? ?

⑵ 圆柱体的三视图 圆柱面的俯视图积聚成一 ⑶ 轮廓线素线的投影与曲面的 个圆,在另两个视图上分别以 可见性的判断 两个方向的轮廓素线的投影表 a? ⑷ 圆柱面上取点 示。

利用投影 的积聚性
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2.圆锥体
⑴ 圆锥体的组成 由圆锥面和底面组成。
它相交的轴线OO1旋转而 在图示位置,俯视图为一 成。 ⑶ 轮廓线素线的投影与 圆。另两个视图为等边三 S称为锥顶,直线SA称 曲面的可见性的判断 角形,三角形的底边为圆 为母线。圆锥面上过锥顶 锥底面的投影,两腰分别 ⑷ 圆锥面上取点 的任一直线称为圆锥面的 为圆锥面不同方向的两条 素线。 ★辅助直线法 轮廓素线的投影。 ★辅助圆法

S O


圆锥面是由直线SA绕与 ⑵ 圆锥体的三视图

s?

A

O1




s?

?

k?(n??)



(n?)

k?

?

n● s
?

如何在圆锥面 过锥顶作 上作直线? 一条素线。 圆的半径?

k

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3.圆球
⑴ 圆球的形成
圆母线以它的直 径为轴旋转而成。

⑵ 圆球的三视图
三个视图分别为三 ⑶ 轮廓线的投影与曲 个和圆球的直径相等的 面可见性的判断 圆,它们分别是圆球三 个方向轮廓线的投影。 ⑷ 圆球面上取点

k?

?

?

k?

圆的半径?
k?

辅助圆法

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2.6

平面体及回转体的截切

截切: 用一个平面与立体相交,截去立体的一 部分。

? 截平面 —— 用以截切物体的平面 。 ? 截交线 —— 截平面与物体表面的交线。 ? 截断面 —— 因截平面的截切,在物体上形 成的平面。 讨论的问题:截交线的分析和作图 。
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2.6.1 平面体的截切
一、平面截切的基本形式

截交线的性质:
? 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形,其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。 ? 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。 求截交线的实质是求两平面的交线
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二、平面截切体的画图
关键是正确地画出截交线的投影。

⒈ 求截交线的两种方法: ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。 ★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。 ⒉ 求截交线的步骤: 确定截交 ★ 空间及投影分析 线的形状
☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 分别求出截平面与棱面 的交线,并连接成多边形。

★ 画出截交线的投影

确定截交线 的投影特性
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例1:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
(4?) 3? 1? 2? 4?
● ●

1?


2?



3?

4 3






1



2

截交线在俯、 ? ★ 求截交线 左视图上的形 ★ 分析棱线的投影 状?

★ 空间分析 截平面与体的 ★ 投影分析 几个棱面相交 交线的形状?

立体

★ 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性
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例1:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

我们采用的是 棱线法!
哪种解题方法 ?

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例2:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

1?(2?)

2?


1?


2 1

注意: 三面共点: 要逐个截平面分析和绘制 Ⅰ、Ⅱ两点分别 截交线。当平面体只有局 部被截切时,先假想为整 同时位于三个面 体被截切,求出截交线后 上。
再取局部。
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例2:求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。

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例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。
P?
4 ?≡ 5 ? 7? 5? 6? 3? 4? 2? 1? Ⅷ Ⅰ 5 6 Ⅶ Ⅵ Ⅲ 8? Ⅱ Ⅴ Ⅳ

2 ?≡ 3 ?≡ 6 ?≡ 7 ? 1 ?≡ 8 ? 8

7

3 1 2

4

截交线的投影 检查截交 分析棱线的 截交线的形状? 求截交线 特性? 投影 线的投影

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例 3: 求八棱柱被平面P截切后的俯视图。

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2.6.2 回转体的截切
一、回转体截切的基本形式

截交线的性质: ? 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 ? 截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。 ? 截交线都是封闭的平面图形。
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二、求平面与回转体的截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置,以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置,明确截交 线的投影特性,如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影,予见未知投影。

⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时,其作图步骤为: ☆ 先找特殊点,补充中间点。 ☆ 将各点光滑地连接起来,并判断截交线的可 见性。
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㈠ 圆柱体的截切
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于 截平面与圆柱轴线的相对位置
PV PV PV

P
P

P

垂直 圆

倾斜 椭圆

平行 两平行直线
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例1:求左视图 同一立体被多 个平面截切,要逐 个截平面进行截交 线的分析和作图。


解题步骤:
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影
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例1:求左视图

解题步骤:
★空间及投影分析 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 ★求截交线 ★分析圆柱体轮廓素线的投影 立体
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例2:求左视图









立体
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例2:求左视图

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例3:求俯视图

立体
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例3:求俯视图

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例4:求左视图


截交线的 空间形状 ? 截交线的已知投影?
● ● ● ● ●









截交线的侧面投 影是什么形状? ★找特殊点

★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影





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例4:求左视图

★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影

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椭圆的长、 短轴随截平面与 圆柱轴线夹角的 变化而改变。
45°

什么情况下 投影为圆呢 截平面与圆柱轴 ?

线成45°时。

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例5:求左视图
虚实分界点

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㈡ 圆锥体的截切
根据截平面与圆锥轴线的相 对位置不同,截交线有五种形状 。
PV θ PV PV θ

PV

α

α

θ PV

α

θ = 90° 圆

过锥顶 两相交直线

θ >α 椭圆

θ =α 抛物线

θ = 0°<α 双曲线

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例: 圆锥被正垂面截切,求 截交线,并完成三视图。

截交线 截交线 的空间 的投影 如何找椭圆另 形状? 特性? 一根轴的端点


★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓线的 投影
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例: 圆锥被正垂面截切,求 截交线,并完成三视图。

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㈢ 球体的截切
平面与圆球相交,截交线的形 状都是圆,但根据截平面与投影面 的相对位置不同,其截交线的投影 可能为圆、椭圆或积聚成一条直线 。

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例:求半球体截切后的俯视图和左视图。

两个侧平面截圆球的截 水平面截圆球的截交线 交线的投影,在侧视图 的投影,在俯视图上为 上为部分圆弧,在俯视 部分圆弧,在侧视图上 图上积聚为直线。 积聚为直线。

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例:求半球体截切后的俯视图和左视图。

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㈣ 复合回转体的截切
例:求作顶尖的俯视图
● ●



● ●

● ●



● ●
● ● ● ●



首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成 以及它们的连接关系,然后分别求出这些基本回 转体的截交线,并依次将其连接。 上页 下页



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小 结
一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形,多边形的边是截平 面与棱面的交线。
求截交线的方法:棱线法 棱面法 二、平面截切回转体,截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。
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三、解题方法与步骤
⒈ 空间及投影分析 ⑴ 分析截平面与被截立体的相对位置,以 确定截交线的形状。 ⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置,以确定截交线的投影特性。 ⒉ 求截交线 当截交线的投影为非圆曲线时,要先 找特殊点,再补充中间点,最后光滑连接 各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓 素线的投影。
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⒊ 当单体被多个截平面截切时,要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时,先按整体被截切求出截 交线,然后再取局部。 ⒋ 求复合回转体的截交线,应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系,然后分别求出这些基本 回转体的截交线,并依次将其连接。

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2.7.1 概



两立体相交叫作相贯,其表面产生的交 线叫做相贯线。 本章主要讨论常用不同立体相交时其表 面相贯线的投影特性及画法。 1.相贯的形式

平面体与回 转体相贯

回转体与回 转体相贯

多体相贯
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2.相贯线的主要性质
★ 表面性
相贯线位于两立体的表面上。

★ 封闭性
相贯线一般是封闭的空间折线(通 常由直线和曲线组成)或空间曲线。

★ 共有性
相贯线是两立体表面的共有线。

其作图实质是找出相贯的两立 体表面的若干共有点的投影。
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2.7.2 平面体与回转体相贯
1.相贯线的性质
相贯线是由若干段平面曲 线(或直线)所组成的空间折 线,每一段是平面体的棱面与 回转体表面的交线。

2.作图方法
求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。 ? 分析各棱面与回转体表面的相对位置,从而确 定交线的形状。 ? 求出各棱面与回转体表面的截交线。 ? 连接各段交线,并判断可见性。
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例1:补全主视图
由于相贯线是两立体表 圆柱面相交,前后两棱面与圆 面的共有线,所以相贯线的 柱轴线平行,截交线为两段直 侧面投影积聚在一段圆弧上, 线;左右两棱面与圆柱轴线垂 水平投影积聚在矩形上。 直,截交线为两段圆弧。

空间分析: 投影分析: 四棱柱的四个棱面分别与

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例1:补全主视图

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例2:求作主视图

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例2:求作主视图

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2.7.3 回转体与回转体相贯
1. 相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的 空间曲线,它是两回转体表面 的共有线。

2.作图方法 ? 利用投影的积聚性直接找点。
? 用辅助平面法。

⒊ 作图过程
? 先找特殊点。 ? 补充中间点。

确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
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例 1 :圆柱与圆柱相贯,求其相贯线。
● ● ● ● ●









求相贯线的投影: 空间及投影分析: 利用积聚性,采用 小圆柱轴线垂直于 H面,水 表面取点法。 平投影积聚为圆,根据相贯线的 共有性,相贯线的水平投影即为 ☆ 找特殊点 该圆。大圆柱轴线垂直于 W面, ☆ 补充中间点 侧面投影积聚为圆,相贯线的侧 ☆ 光滑连接
面投影在该圆上。
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例 1 :圆柱与圆柱相贯,求其相贯线。

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当圆柱直径变化时,相贯线的变化趋势。

交线向大圆 柱一侧弯

交线为两条平面 曲线(椭圆)
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例2:补全主视图









● ●


● ● ● ● ● ●





★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
● ● ● ●

★ 内形交线
◆ 两内表面相贯

立体
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例2:补全主视图

小 结: 无轮是两外表面相贯, 还是一内表面和一外表面 相贯,或者两内表面相贯, 求相贯线的方法和思路是 一样的。
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例3:求主视图
● ●







×

相切处无线 外表面与外表



面相贯,内表面与 内表面相贯。分别 求其相贯线。
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立体

例3:求主视图

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例 4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。

◆ 空间及投影分析: 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。 它的侧面投影有积聚性,正面投影、水平 投影没有积聚性,应分别求出。 ◆ 解题方法:辅助平面法
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辅助平面法:
根据三面共点的原理,利用辅助平面求 出两回转体表面上的若干共有点,从而画出 相贯线的投影。

作图方法:
假想用辅助平面截切两回转体,分别得 出两回转体表面的截交线。由于截交线的交 点既在辅助平面内,又在两回转体表面上, 因而是相贯线上的点。

辅助平面的选择原则:
使辅助平面与两回转体表面的截交线的 投影简单易画,例如直线或圆。 一般选择投影面平行面
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例 4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。
● ● ● ●

P

假想用水平面P截切立体,P面与圆柱 体的截交线为两条直线,与圆锥面的交线 为圆,圆与两直线的交点即为交线上的点。
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例 4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。
● ● ● ● ●

● ● ●





● ●



解题步骤: ★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求 中间点 ★ 光滑连接各点
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例 4:圆柱与圆锥相贯,求其相贯线的投影。

解题步骤: ★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求 中间点 ★ 光滑连接各点
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例5:补全主视图
3 2



● ●



● ●

这是一个多体 相贯的例子,首先 分析它是由哪些基 本体组成的,这些 基本体是如何相贯 的,然后分别进行 相贯线的分析与作 图。



1



2与3
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立体

例5:补全主视图 三面共点
● ●



作图时要抓住 一个关键点,相贯 线汇交于这一点。

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例6:求俯视图



● ● ●

● ●

























立体
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例6:求俯视图

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小 结
一、本章的基本内容 ⒈ 立体表面相贯线的概念
相贯线的性质:表面性 共有性 封闭性

⒉ 求相贯线的基本方法
面上找点法 辅助平面法

二、解题过程 ⒈ 交线分析
⑴ 空间分析: 分析相交两立体的表面形状, 形体大小及相 对位置,预见交线的形状。 ⑵ 投影分析: 是否有积聚性投影?找出相贯线的已知投影, 预见未知投影,从而选择解题方法。
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⒉ 作图
当相贯线的投影为非圆曲线时,其作图步 骤为: ⑴ 找点 ☆ 先找特殊点 特殊点包括:最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。 ☆ 补充若干中间点 ⑵连线 ⑶检查、加深 尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。
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三、平面体与圆柱体相贯
⒈ 相贯线的产生:
外表面与外表面相交, 外表面与内表面相交, 内表面与内表面相交。

⒉ 求相贯线的方法: 求平面体的棱面与圆柱面的截交线,依次连 接起来。 ⒊ 相贯线的形状及投影: 相贯线为封闭的空间折线。相贯线在非积聚 性投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折,而且在 两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。
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四、两圆柱体相贯 ⒈ 相贯线的产生:
外表面与外表面相交, 外表面与内表面相交, 内表面与内表面相交。 ⒉ 求相贯线的方法: 常用的方法是利用积聚性 表面取点,也可用辅助平面法。 ⒊ 相贯线的形状及投影: 相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交, 小圆柱穿大圆柱时,相贯线在非积聚性投影上总是 向大圆柱里弯曲,当两圆柱直径相等时,相贯线在 空间为两个椭圆,其投影变为直线。 在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。
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五、多体相贯

每个局部都是两体相贯,首先分析 它是由哪些基本体组成的,然后两两进 行相贯线的分析与作图。
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3.1 组合体的组成方式
组合体 —— 由平面体和曲面体组成的物体 一、组合体的组成方式 ⒈ 叠加 叠加的形式包括:
表面不平齐叠加 表面平齐叠加

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同轴叠加

非对称叠加

对称叠加

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⒉ 相交

⒊ 截切

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二、形体之间的表面过渡关系
⒈ 两形体叠加时的表面过渡关系
无线 虚线

实线

(a) 平齐

(b)前面平齐 后面不平齐

(c) 不平齐

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⒉ 两形体表面相切时,相切处无线。

无线

无线

无线


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⒊ 两形体相交时,在相交处应画出交线。

有线

有线

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三、组合体的画图和读图方法
形体分析法: 根据组合体的形状,将其分解成若 干部分,弄清各部分的形状和它们的相 对位置及组合方式,分别画出各部分的 投影。 面形分析法: 视图上的一个封闭线框,一般情况 下代表一个面的投影,不同线框之间的 关系,反映了物体表面的变化。
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3.2 组合体的画图方法
一、画图步骤及要领 ? 对组合体进行形体分解 —— 分块 ? 弄清各部分的形状及相对位置关系。 ? 按照各块的主次和相对位置关系,逐个画 出它们的投影。 ? 分析及正确表示各部分形体之间的表面过 渡关系 ? 检查、加深。
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二、组合体的画图方法
例1 :求作轴承座的三视图
? ● ● ● ?

凸台
圆筒 支撑板





底 板
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肋板

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例 2:求作导向块的三视图

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3.3 组合体的看图方法
一、看图时需要注意的几个问题
1. 要把几个视图联系起来进行分析 例:

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例:

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2.注意抓特征视图 形状特征视图 ——最能反映物体形状特征的那个视图。 例:

形状特征视图

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位置特征视图 ——最能反映物体位置特征的那个视图。

位置特征视图
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二、看图的方法和步骤
形体分析法 看图的方法 面形分析法

看图的步骤: 1.看视图抓特征
? 看视图 —— 以主视图为主,配合其它 视图,进行初步的投影分析和空间分析。 ? 抓特征 —— 找出反映物体特征较多的 视图,在较短的时间里,对物体有个大 概的了解。
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2.分解形体对投影
? 分解形体 —— 参照特征视图,分解形 体。 ? 对投影 —— 利用“三等”关系,找出 每一部分的三个投影,想象出它们的形 状。

3.综合起来想整体
在看懂每部分形体的基础上,进一 步分析它们之间的组合方式和相对位置 关系,从而想象出整体的形状。
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