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2019-2020年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标51双曲线


2019-2020 年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标 51 双曲线

[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查,通常与平面向量、解三角形 方程或不等式综合在一起,以选择题、填空题形式出现,或在解答题中以第一问作考查的第 一步.
一、选择题 1.已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y2=4x 的焦点重合,且双曲线

的离心率等于 5,则该双曲线的方程为( D )

A.5x2-45y2=1

x2 y2 B. 5 - 4 =1

y2 x2 C. 5 - 4 =1

D.5x2-54y2=1

解析 ∵抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),∴c=1,∴e=ca=1a= 5,得 a2=15,b2=c2

-a2=45,则双曲线的方程为 5x2-54y2=1,故选 D.

2.已知实数 1,m,9 成等比数列,则圆锥曲线xm2+y2=1 的离心率为( C )

6 A. 3

B.2

C. 36或 2

D. 22或 3

解析 根据条件可知 m2=9,∴m=±3.当 m=3 时,e=ca= 36;当 m=-3 时,e=2,

故选 C. 3.双曲线x22-2y2=1 的渐近线与圆 x2+(y+a)2=1 相切,则正实数 a=( C )

A.

17 4

B. 17

5 C. 2

D. 5

解析 ∵双曲线x22-2y2=1 的渐近线方程为 y=±12x,圆心为(0,-a),半径为 1,∴由

渐近线和圆相切,得|2a|=1,解得 5

a=

25.

x2 y2

x2

y2

4.若实数 k 满足 0<k<9,则曲线25-9-k=1 与曲线25-k- 9 =1 的( D )

A.离心率相等

B.虚半轴长相等

C.实半轴长相等

D.焦距相等

解析 因为 0<k<9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线2x52 -9-y2 k=1 的实半轴长为 5,

虚半轴长为 9-k,焦距为 2 25+

-k

=2

34-k,离心率为

34-k

x2

5 ,双曲线25-k-

y2 9 =1 的实半轴长为

25-k,虚半轴长为 3,焦距为 2

-k +9=2 34-k,离心率为

34-k,故两曲线只有焦距相等.故选 D. 25-k

5.(xx·天津卷)已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的左焦点为 F,离心率为 2.若经过 F

和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( B )

x2 y2 A. 4 - 4 =1

x2 y2 B. 8 - 8 =1

x2 y2 C. 4 - 8 =1

x2 y2 D. 8 - 4 =1

解析 由 e= 2知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为 y=±x,由 P(0,4)知左焦

点 F 的坐标为(-4,0),所以 c=4,则 a2=b2=c22=8.故选 B.

6.已知

a>b>0,椭圆

C1

x2 y2 的方程为a2+b2=1,双曲线

C2

的方程为xa22-yb22=1,C1



C2

的离

心率之积为 23,则 C2 的渐近线方程为( A )

A.x± 2y=0 C.x±2y=0

B. 2x±y=0 D.2x±y=0

解析 由已知得

1-???ab???2·

1+???ba???2=

23,解得ba=

1 ,故选 2

A.

二、填空题 x2 y2
7.已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线 l:x+ 3y=0 垂直,C 的 一个焦点到直线 l 的距离为 1,则 C 的方程为__x2-y32=1__.

解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线 l:x+ 3y=0 垂直, ∴双曲线的渐近线的斜率为 3,即ba= 3.① 由题意知双曲线的焦点在 x 轴上,可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0),根据点到直线

的距离公式,得|c2|=1, ∴c=2,即 a2+b2=4.② 联立①②,解得 a2=1,b2=3 , ∴双曲线的标准方程为 x2-y32=1. 8.若双曲线 x2-yb22=1(b>0)的一条渐近线与圆 x2+(y-2)2=1 至多有一个公共点,则

双曲线离心率的取值范围是__(1,2]__. 解析 双曲线的渐近线方程为 y=±bx,则有|01-+2b|2≥1,解得 b2≤3,则 e2=ca22=1+b2≤4,

所以 1<e≤2. 9.(xx·山东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的右支与焦点
为 F 的抛物线 x2=2py(p>0)交于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方

程为__y=± 22x__.

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知|AF|=y1+p2,|BF|=y2+p2,|OF|

=p2,由|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=2p,得 y1+y2=p. kAB=yx22- -yx11=2xxp222- -2xxp121 =x22+px1.

??xa212-yb212=1, ??? 由 xa222-yb222=1,

得 kAB=yx22--yx11=ab22

x1+x2 y1+y2

=ba22·x1+p x2,

则ba22·x1+p x2=x22+px1,所以ba22=12?

b a=

2 2,

所以双曲线的渐近线方程为 y=± 22x.

三、解答题

10.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1)求双曲线的方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上. 解析 (1)∵离心率 e= 2,∴双曲线为等轴双曲线,

可设其方程为 x2-y2=λ (λ ≠0),则由点(4,- 10)在双曲线上, 可得 λ =42-(- 10)2=6,∴双曲线方程为 x2-y2=6. (2)证明:∵点 M(3,m)在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3,

又双曲线 x2-y2=6 的焦点为 F1(-2 3, 0),F2(2 3,0), ∴M→F1·M→F2= (-2 3-3,-m)·(2 3-3,-m)=(-3)2-(2 3)2+m2=9-12+3=0, ∴MF1⊥MF2,∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上.
x2 y2 11.设 A,B 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,

焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程;

(2)已知直线 y= 33x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,

使O→M+O→N=t→OD,求 t 的值及点 D 的坐标.

bc

解析 (1)由题意知 a=2 3,焦点(c,0)到渐近线 bx-ay=0 的距离

= 3,即 b

b2+a2

= 3, x2 y2
∴双曲线方程为12- 3 =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0,

则 x1+x2=16 3,y1+y2=12.

??xy00=4 3 3,

???1x220 -y320=1,

∴??x0=4 3, ?y0=3.

由O→M+O→N=t→OD,得(16 3,12)=(4 3t,3t), ∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). 12.已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围; (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值. 解析 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,则方程组???x2-y2=1, 有两个不同的
??y=kx-1

实数根, 整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.

∴?????1Δ-=k24≠k20+,

-k2

解得- 2<k< 2且 k≠±1. ,

故双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时,k 的取值范围是(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1,

2). (2)设交点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 与 y 轴交于点 D(0,-1), 由(1)知,C 与 l 联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0.

??x1+x2=1--2kk2,

???x1x2=1--2k2.

∴S△OAB=12|x1-x2|= 2,∴(x1-x2)2=(2 2)2, 即???1--2kk2???2+1-8 k2=8,解得 k=0 或 k=± 26. 又∵- 2<k< 2,且 k≠±1, ∴当 k=0 或 k=± 26时,△AOB 的面积为 2.

2019-2020 年高考数学一轮复习第八章解析几何课时达标 52 抛物线

[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数,通常在选择题、填空

题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查.

一、选择题

1.(xx·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程,焦点在 x 轴上,其上点 P(-

3,m)到焦点的距离为 5,则抛物线方程为( B )

A.y2=8x

B.y2=-8x

C.y2=4x

D.y2=-4x

解析 设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则p2-(-3)=5,

∴p=4,∴抛物线方程为 y2=-8x.故选 B.

2.(xx·江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为 y2=2px(p>0),过抛物线上一点 M(p,

2p)和抛物线的焦点 F 作直线 l 交抛物线于另一点 N,则|NF|∶|FM|=( C )

A.1∶ 2

B.1∶ 3

C.1∶2

D.1∶3

解析 由题意知直线 l 的方程为 y=2 2???x-p2???,

??y2=2px, 联立方程???y=2 2???x-p2???,

得 N???p4,- 22p???.

所以|NF|=p4+p2=34p,|MF|=p+p2=32p,

所以|NF|∶|FM|=1∶2,故选 C. 3.已知抛物线 C:y2=4x,顶点为 O,动直线 l:y=k(x+1)与抛物线 C 交于 A,B 两点,

则O→A·O→B=( A )

A.5

B.-5

C.4

D.-4

解析 设 A???y412,y1???,B???y422,y2???,由已知得直线 l 过定点 E(-1,0),因为 E,A,B 三点共

线,所以???y412+1???y2=???y422+1???y1,

即y14y2(y1-y2)=y1-y2,因为 y1≠y2,所以 y1y2=4,

所以→OA·→OB=

y1y2 16

2
+y1y2=5.

4.(xx·吉林长春一模)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 120°的直线 l 与

抛物线在第一、四象限分别交于

A、B

|AF| 两点,则|BF|=(

A

)

A.13

B.23

3 C.4

4 D.3

解析 设抛物线的准线为 l:x=-p2,|FB|=m,|FA|=n,

过 A,B 两点向准线 l 作垂线 AC,BD, 由抛物线定义知|AC|=|FA|=n,|BD|=|FB|=m, 过 B 作 BE⊥AC,E 为垂足, 则|AE|=|CE|-|AC|=|BD|-|AC|=m-n, |AB|=|FA|+|FB|=n+m.

在 Rt△ABE 中,∠BAE=60°,cos 60°=||AAEB||=mm- +nn=12,

m 即 m=3n.故||ABFF||=nm=m3=13.
5.已知点 A(2,1),抛物线 y2=4x 的焦点是 F,若抛物线上存在一点 P,使得|PA|+|PF|
最小,则点 P 的坐标为( D )

A.(2,1)

B.(1,1)

C.???12,1???

D.???14,1???

解析 由抛物线定义知,|PF|等于 P 到准线 x=-1 的距离,当 PA 与准线垂直时|PA|+

|PF|最小,∴P 点的纵坐标为 1,代入方程得 x=14. 6.已知抛物线 x2=4y 上有一条长为 6 的动弦 AB,则 AB 的中点到 x 轴的最短距离为

(D)

A.34

B.32

C.1

D.2

解析 由题意知,抛物线的准线 l:y=-1,过点 A 作 AA1⊥l 于点 A1,过点 B 作 BB1⊥l

于点 B1,设弦 AB 的中点为 M,过点 M 作 MM1⊥l 于点 M1,则|MM1|=|AA1|+2 |BB1|.

因为 6=|AB|≤|AF|+|BF|, 所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3, 故点 M 到 x 轴的距离 d≥2,故选 D.

二、填空题 7.(xx·福建福州质检)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点作倾斜角为 30°的直线 l 与抛物 线交于 P,Q 两点,分别过 P,Q 两点作 PP1,QQ1 垂直于抛物线的准线于 P1,Q1,若|PQ|=2, 则四边形 PP1Q1Q 的面积是__1__. 解析 由题意得四边形 PP1Q1Q 为直角梯形,|PP1|+|QQ1|=|PQ|=2,|P1Q1|=|PQ|sin 30°=1,∴S=|PP1|+2 |QQ1|·|P1Q1|=1.

8.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1

米后,水面宽__2 6__米.

解析 如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0).

由题意将点 A(2,-2)代入 x2=-2py,

得 p=1,故 x2=-2y.设 B(x,-3),代入 x2=-2y 中,得 x= 6,故水面宽为 2 6米.

9.(xx·全国卷Ⅱ)已知 F 是抛物线 C:y2=8x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y

轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|=__6__.

解析 依题意,抛物线 C:y2=8x 的焦点 F(2,0),准线 x=-2,因为点 N 在 y 轴上,M

为 FN 的中点,所以点 M 的横坐标为 1,

所以|MF|=1-(-2)=3,|FN|=2|MF|=6.

三、解答题

10.已知抛物线 y2=4px(p>0)的焦点为 F,圆 W:(x+p)2+y2=p2 的圆心到过点 F 的直

线 l 的距离为 p.

(1)求直线 l 的斜率;

(2)若直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,△WAB 的面积为 8,求抛物线的方程.

解析 (1)易知抛物线 y2=4px(p>0)的焦点为 F(p,0),依题意设直线 l 的方程为 x=my

+p,因为 W(-p,0),所以点 W 到直线 l 的距离为

|-p-p| 1+ -m

2=p,解得 m=±

3,所以

直线 l 的斜率为± 33.

(2)由(1)知直线 l 的方程为 x=± 3y+p,由于两条直线关于 x 轴对称,不妨取 x= 3 y+p,代入 y2=4px 中,
得 y2-4 3py-4p2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4 3p,y1y2=-4p2,

所以|AB|= 1+ 3 2·

3p 2+4×4p2=16p,

因为△WAB 的面积为 8,所以12p×16p=8,得 p=1,

所以抛物线的方程为 y2=4x.

11.已知抛物线 y2=2px(p>0),过点 C(-2,0)的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,坐标原

点为 O,→OA·→OB=12.

(1)求抛物线的方程;

(2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时,求直线 l 的方程.

解析 (1)设 l:x=my-2,代入 y2=2px 中, 得 y2-2pmy+4p=0.(*)

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 y1+y2=2pm,y1y2=4p,所以 x1x2=y421py222=4.

因为→OA·→OB=12,所以 x1x2+y1y2=12,即 4+4p=12, 得 p=2,抛物线的方程为 y2=4x. (2)(1)中(*)式可化为 y2-4my+8=0.

y1+y2=4m,y1y2=8.设 AB 的中点为 M,

则|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①

又|AB|= 1+m2|y1-y2|=

+m2

m2-

由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,

,②

解得 m2=3,m=± 3.

所以直线 l 的方程为 x+ 3y+2=0 或 x- 3y+2=0. 12.(xx·全国卷Ⅲ)已知抛物线:C:y2=2x,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A,B 两点,

圆 M 是以线段 AB 为直径的圆.

(1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上;

(2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程.

解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.

由?????xy=2=m2yx+2,

可得 y2-2my-4=0,则 y1y2=-4.

又 x1=y221,x2=y222,故 x1x2=

y1y2 4

2
=4.

因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为yx11·yx22=-44=-1, 所以 OA⊥OB.故坐标原点 O 在圆 M 上. (2)由(1)可得 y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4. 故圆心 M 的坐标为(m2+2,m),

圆 M 的半径 r= m2+ 2+m2.

由于圆 M 过点 P(4,-2),因此→AP·→BP=0,

即(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即 x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0. 由(1)可得 y1y2=-4,x1x2=4.

所以 2m2-m-1=0,解得 m=1 或 m=-12. 当 m=1 时,直线 l 的方程为 x-y-2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为 10, 圆 M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 当 m=-12时,直线 l 的方程为 2x+y-4=0, 圆心 M 的坐标为???94,-12???,圆 M 的半径为 485, 圆 M 的方程为???x-94???2+???x+12???2=1865.



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