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高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第48课__双曲线的标准方程和几何性质 Word版含解析


第 48 课 双曲线的标准方程和几何性质 1. 了解双曲线的定义和几何图形. 2. 了解双曲线的标准方程,会求双曲线的标准方程;会用双曲线的标准方程处理简单的实 际问题. 3. 了解双曲线的简单几何性质. 1. 阅读:选修 11 第 37~41 页(理科阅读选修 21 相应内容). 2. 解悟:①双曲线的几何性质(对称性、取值范围、顶点、渐近线、离心率);②双曲线的离 心率是反映了双曲线形状的一个重要量,它与ba之间满足一个什么关系?③求离心率关键要 寻找何种等式? 3. 践习:在教材空白处,完成选修 11 第 39 页练习第 3 题,第 45 页习题第 1,6 题(理科完 成选修 21 相应任务). 基础诊断 1. 已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)和椭圆1x62+y92=1 有相同的焦点,且双曲线的离心率 是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 x42-y32=1 . 解析:由题意得双曲线的半焦距为 c= 7,椭圆的离心率为 47,则双曲线的离心率为 27, 可得 a=2,b= 3,所以双曲线方程为x42-y32=1. 2. 若双曲线 x2+my2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则双曲线的渐近线方程为 y= ±2x . 解析:双曲线 x2+my2=1 中 a=1,b= -m1 .因为双曲线 x2+my2=1 的虚轴长是实轴 长的 2 倍,所以 2 -m1 =4,所以 m=-14,所以双曲线方程为 x2-y42=1,所以双曲线的 渐近线方程为 y=±2x. 3. 若双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的 离心率为 5 . 解析:因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于 2a,即点 F(c,0)到直线 bx±ay=0 的距 离等于 2a,即 a|b2+c| b2=2a,即 b=2a,所以 e2=ca22=1+ba22=5,即双曲线的离心率为 e= 5. 4. 经过点 A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 x82-y82=1 . 解析:当焦点在 x 轴上时,设双曲线的标准方程为xa22-ya22=1(a>0),将点 A(3,-1)代入 第1页 共6页 方程得a92-a12=1,得 a2=8,所以双曲线的标准方程为x82-y82=1;当焦点在 y 轴上时,设双 曲线的标准方程为yb22-xb22=1(b>0),将点 A(3,-1)代入方程得b12-b92=1,得 b2=-8(舍). 综上,该双曲线的方程为x82-y82=1. 范例导航 考向? 求双曲线的标准方程 例 1 (1) 双曲线过 P??3, 226??,Q??1,- 210??两点,求双曲线的标准方程; (2) 与双曲线x92-y42=1 有共同渐近线,且过点 A(3,4),求双曲线的标准方程. 解析:(1) 设双曲线方程为xm2+yn2=1(mn<0). 因为经过点 P??3, 226??,Q??1,- 210??, ????? 所以有 ? 26?2 3m2+? 2 n ? =1, 解得???m=-4, 12+??- m 10?2 2 n ? =1, ??n=2. 故所求双曲线方程为y22-x42=1. (2) 因为所求双曲线与双曲线x92-y42=1 有共同的渐近线, 所以设双曲线方程为x92-y42=λ(λ≠0),将点 A(3,4)代入得392-442=λ,则 λ=-3, 故所求双曲线方程为1y22 -2x72=1. 双曲线有一条渐近线 l:y=12x,有一条准线 l:y= 510,求双曲线的标准方程. ??? 解析:由题意知双曲线的焦点在 y 轴上,设双曲线方程为ya22-xb22=1,则 ba=12, 又因 ac2= 10 5. 为 a2+b2=c2,所以??a= 2, ?b=2 2, 所以双曲线的标准方程为y22-x82=1. 第2页 共6页 考向? 求双曲线的离心率 例 2 已知过双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为 A,与 另一条渐近线交于点 B,若F→B=2F→A,求双曲线的离心率. 解析:如图.因为F→B=2F→A, 所以 A 为线段 BF 的中点, 所以∠2=∠3. 因为∠1=∠2,所以∠2=60°, 所以ba=tan60°= 3, 所以 e2=1+??ba??2=4,所以 e=2. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x2 =2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 3 2 W. 解析:双曲线 C1:xa22-yb22=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±bax,与抛物线 C2:x2=2py 联立,可得 x=0 或 x=±2pab,取 A??2pab,2pa2b2??.设抛物线 C2 的焦点为 P??0,p2??,则 kAP=4b42a-ba2. 因为△OAB 的垂心为 C2 的焦点,所以4b42- aba2·??-ba??=-1,化简得 5a2=4b2,所以 5a2=4(c2 -a2),所以 e=ca=32. 考向? 双曲线性质的简单应用 例 3 已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4,- 10). (1) 求双曲线的标准方程; (2) 若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3) 在(2)的条件下,求△F1MF2 的面积. 解析:(1) 因为 e= 2, 所以ca= 2,所以 c2=2a2. 又 c2=a2+b2,所以 a2+b2=2a2,所以 a=b, 第3页 共6页 所以设双曲线方程为 x2-y2=k(k≠0). 因为双曲线经过点(4,- 10), 所以 k=16-10=6, 故所求双曲线方程为x62


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