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2019-2020学年高中数学 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示同步训练 新人教B版选修2-1.doc


2019-2020 学年高中数学 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示同 步训练 新人教 B 版选修 2-1
一、基础过关 1.若平面 α 、β 的法向量分别为 u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则 ( ) B.α ⊥β D.以上均不正确 )

A.α ∥β C.α 、β 相交但不垂直

2. 若直线 l 的一个方向向量为 a=(2,5,7), 平面 α 的一个法向量为 u=(1,1, -1), 则( A.l∥α C.l? α B.l⊥α D.A、C 都有可能

3.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中, 在平面 α 内的是 ( ) 3? ? B.?1,3, ? 2? ? 3? ? D.?-1,3,- ? 2? ?

A.(1,-1,1) 3? ? C.?1,-3, ? 2? ?

4.若 n1,n2 分别是平面 α ,β 的法向量,且 α ⊥β ,n1=(1,2,x),n2=(x,x+1,x), 则 x 的值为 ( ) B.-1 或-2 D.-2

A.1 或 2 C.-1

5.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α ∥β ,则 k 等于( )

A.2 B.-4 C.4 D.-2 6.已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是 ( A.? ) 3 3? ? 3 , ,- ? 3 3 3 ? ? B.? 3 3? ? 3 ,- , ? 3 3 3 ? ?

C.?-

? ?

3 3 3? , , ? 3 3 3 ?

D.?-

? ?

3 3 3? ,- ,- ? 3 3 3?

7.已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且 α ⊥β ,则 x =________. 8.下列命题中:

①若 u,v 分别是平面 α ,β 的法向量,则 α ⊥β ?u·v=0; ②若 u 是平面 α 的法向量且向量 a 与 α 共面,则 u·a=0; ③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 正确的命题序号是________. → → 9.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点, 如果AB=(2, -1,-4), AD=(4,2,0),

AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量;
→ → ④AP∥BD. 其中正确的是________.(填序号) 二、能力提升 10.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使 得 D1M⊥平面 EFB1. 11.如图所示,△ABC 是一个正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE =CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证:平面 DEA⊥平面 ECA. 12.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,∠ABC =60°,PA=AB=BC,AD= 证明:PD⊥平面 ABE. 2 3 AB,E 是 PC 的中点. 3





三、探究与拓展 13.如图所示,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD, ∠DAB=60°,AB=AD=2CD,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 为等 腰直角三角形,∠APD=90°,M 为 AP 的中点. 求证:DM∥平面 PCB.

答案 1.C 2.D 3.B 4.B 5.C 6.D 7.-4 8.①②③ 9.①②③ 10.解 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,设正方体的棱长为 2,则 E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2). → → → 设 M(2,2,m),则EF=(-1,1,0),B1E=(0,-1,-2),D1M= (2,2,m-2). ∵D1M⊥平面 EFB1,∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E, → → → → ∴D1M·EF=0 且D1M·B1E=0,
?-2+2=0, ? 于是? ?-2- m- ?

=0,

∴m=1,

故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1. 11.证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,不妨设 CA=2, 则 CE=2,BD=1,C(0,0,0),A( 3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),

D(0,2,1).
→ → → 所以EA=( 3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1). 分别设面 CEA 与面 DEA 的法向量是 n1=(x1, y1, z1), n2=(x2, y2, z2), → ? ?n1·EA=0, 则? → ? ?n1·CE=0, 解得?

? 3x1+y1-2z1=0, 即? ?2z1=0.

?y1=- 3x1, ?z1=0. ? 3x2+y2-2z2=0, 即? ?2y2-z2=0.

→ ? ?n2·EA=0, ? → ? ?n2·ED=0, 解得?

?x2= 3y2, ?z2=2y2.

不妨取 n1=(1,- 3,0),n2=( 3,1,2), 因为 n1·n2=0,所以两个法向量相互垂直. 所以平面 DEA⊥平面 ECA. 12.证明 ∵PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,

∴AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1)、A(0,0,0)、B(1,0,0)、

D?0,

? ?

2 3 ? ,0?. 3 ?

∵∠ABC=60°,∴△ABC 为正三角形. 3 ? ?1 3 1? ?1 ∴C? , ,0?,E? , , ?. ?2 2 ? ?4 4 2? 3 1? → → ?1 ∴AB=(1,0,0),AE=? , , ?, ?4 4 2? ∴设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z),

x=0, ? ? 则?1 3 1 x+ y+ z=0, ? 4 4 2 ?
令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3). 3 ? → ? 2 3 → → ∵PD=?0, ,-1?,显然PD= n,∴PD∥n, 3 3 ? ? → ∴PD⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE. 13.证明 取 AD 的中点 G,连接 PG,GB. ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD. ∵PG⊥AD,∴PG⊥底面 ABCD, ∴PG⊥BG.又∵BG⊥AD, ∴直线 DA、GB、GP 两两互相垂直,故可以分别以直线 DA,GB,GP 为 x 轴、y 轴和 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz, 设 PG=a,C(x,y,z),则可求得

P(0,0,a),A(a,0,0),B(0, 3a,0),D(-a,0,0),
→ → → 则GP=(0,0,a),AB=(-a, 3a,0),PB=(0, 3a,-a). ∵AB=2DC,且 AB∥CD, → → ∴AB=2DC,即(-a, 3a,0)=2[(x,y,z)-(-a,0,0)]. 3 3 ? 3 ? ? 3 ? ∴(x,y,z)=?- a, a,0?,即 C?- a, a,0?. 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? → ? 3 ∴BC=?- a,- a,0?. 2 ? 2 ? 设 n=(x0,y0,z0)是平面 PBC 的法向量, → → 则 n·BC=0 且 n·PB=0,

3 ? 3 ?- ax0- ay0=0 2 ∴? 2 ? ? 3ay0-az0=0

3 ? ?x0=- y0, 3 ?? ? ?z0= 3y0,

取 y0= 3,得 n=(-1, 3,3).

? ? ∵点 M 是 AP 的中点,∴M? ,0, ?, 2? ?2
a a a? a? → ?a ?3 ∴DM=? ,0, ?-(-a,0,0)=? a,0, ?. 2? 2? ?2 ?2


a? → ?3 DM·n=? a,0, ?·(-1, 3,3)=0,∴DM⊥n.

?2

2?

∵DM?平面 PCB,∴DM∥平面 PCB.



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