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2019-2020学年高中数学 3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式课时作业 新人教A版必修4.doc


2019-2020 学年高中数学 3.1.2 第 1 课时 两角和与差的正弦、余弦 公式课时作业 新人教 A 版必修 4
一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1.下面各式中,不正确的是( )

π π π π 3 π A.sin( + )=sin cos + cos 4 3 4 3 2 4 7 π π 2 π B.cos π =cos cos - sin 12 4 3 2 3 π π π 6 C.cos(- )=cos cos + 12 4 3 4 π π π D.cos =cos -cos 12 3 4 π 3 解析:∵sin = ,∴A 正确; 3 2 7π π π ∵cos =cos( + ),∴B 正确; 12 4 3 π π π ∵cos(- )=cos( - ),∴C 正确; 12 4 3 π π π π π ∵cos =cos( - )≠cos -cos ,∴D 不正确. 12 3 4 3 4 答案:D 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 解析:∵在△ABC 中,C=π -(A+B), ∴2·cosBsinA=sin[π -(A+B)] =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB. ∴-sinAcosB+cosAsinB=0, 即 sin(B-A)=0,∴A=B.故选 A. 答案:A 3 .计算 cos(80°+ 2α )cos(65°+ 2α ) +sin(80°+ 2α )sin(65°+ 2α ) 的值为 ( ) A. 2- 6 4 B. 3 2 B.直角三角形 D.等边三角形 )

C.

6+ 2 4

D.

1 2

解析:原式=cos[(80°+2α )-(65°+2α )] =cos15°=cos(45°-30°) = 2+ 6 . 4

答案:C 4.若 3sinx+cosx=4-m,则实数 m 的取值范围是( A.2≤m≤6 C.2<m<6 解析:∵ 3sinx+cosx=4-m, ∴ 3 1 4-m sinx+ cosx= , 2 2 2 )

B.-6≤m≤6 D.2≤m≤4

π π 4-m ∴sin sinx+cos cosx= , 3 3 2 π 4-m ∴cos(x- )= . 3 2 π ∵|cos(x- )|≤1, 3 4-m ∴| |≤1,∴2≤m≤6. 2 答案:A π 3 π 5.已知 cos(x- )=- ,则 cosx+cos(x- )的值是( 6 3 3 2 3 A.- 3 C.-1 解析:cosx+cos(x- 2 3 B.± 3 D.±1 π 1 3 3 3 3 1 )=cosx+ cosx+ sinx= cosx+ sinx= 3( cosx+ 3 2 2 2 2 2 2 )

π sinx)= 3cos(x- )=-1. 6 答案:C 6.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则 C 的大小为( A. C. π 6 π 5 或 π 6 6 5 B. π 6 D. π 2 或 π 3 3 )

?3sinA+4cosB=6, ? 解析:? ?3cosA+4sinB=1, ?

① ②

① +② 得 9+16+24sin(A+B)=37. 1 则 sin(A+B)= . 2 1 π 5 ∴在△ABC 中,sinC= ,∴C= 或 C= π . 2 6 6 5 π 若 C= π ,则 A+B= ,∴1-3cosA=4sinB>0. 6 6 1 ∴cosA< . 3 1 1 π 又 < ,∴A> . 3 2 3 5 π 此时 A+C>π ,不符合题意,∴C≠ π ,∴C= . 6 6 答案:A 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.形如?

2

2

?a b? ?a b? ?的式子叫做行列式,其运算法则为? ? = ad - bc , 则 行 列 式 ?c d? ?c d?

?cosπ ? 3 ?sinπ ? 3

? ? 的值是________. π? cos 6?
π sin 6

?cosπ ? 3 解析: ?sinπ ? 3
答案:0

? π π ?=cos cos -sinπ sinπ 3 6 3 6 π cos ? 6?
π sin 6

π π π =cos( + )=cos =0. 3 6 2

π 1 π 3 π π π π 8.若 sin( -α )=- ,sin( +β )= ,其中 <α < , <β < ,则角 α +β 4 2 4 2 4 2 4 2 的值为________. π π π π 解析:∵ <α < , <β < , 4 2 4 2 π π π π 3 ∴- < -α <0, < +β < π . 4 4 2 4 4

π ∴cos( -α )= 4 π cos( +β )=- 4

1-sin 1-sin

2

π -α 4 π +β 4



3 , 2

2

1 =- , 2

π π ∴cos(α +β )=cos[ +β -( -α )] 4 4 π π π π =cos( +β )cos( -α )+sin( +β )sin( -α ) 4 4 4 4 1 3 3 1 3 =(- )× + ×(- )=- , 2 2 2 2 2 又 π 5 <α +β <π ,∴α +β = π . 2 6

5 答案: π 6 1 1 9.已知 sinα -cosβ = ,cosα -sinβ = ,则 sin(α +β )=________. 2 3 1 解析:由 sinα -cosβ = 两边平方得 2 1 2 2 sin α -2sinα cosβ +cos β = ,① 4 1 由 cosα -sinβ = 两边平方得 3 1 2 2 cos α -2cosα sinβ +sin β = ,② 9 1 1 2 2 2 2 ①+②得: (sin α +cos α )-2(sinα cosβ +cosα sinβ )+(cos β +sin β )= + . 4 9 13 ∴1-2sin(α +β )+1= . 36 59 ∴sin(α +β )= . 72 59 答案: 72 三、解答题(共计 40 分,其中 10 题 10 分,11、12 题各 15 分) 1 10.化简:sin(α +β )cosα - [sin(2α +β )-sinβ ]. 2 1 解:原式=sin(α +β )cosα - [sin(α +α +β )-sin(α +β -α )] 2 1 = sin(α +β )cosα - [sinα cos(α + β )+ cosα sin(α +β )- sin(α + β )cosα 2

+cos(α +β )sinα ] 1 =sin(α +β )cosα - ×2sinα cos(α +β ) 2 =sin(α +β )cosα -cos(α +β )sinα =sin(α +β -α )=sinβ .

?x π ? ?π ? 11.已知函数 f(x)=Acos? + ?,x∈R,且 f? ?= 2. ?4 6 ? ?3?
(1)求 A 的值; 4 ? 2 ? 8 30 ? ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?4α + π ?=- ,f?4β - π ?= ,求 cos(α +β )的值. 2 3 3 ? 5 17 ? ? ? ? ? π 解:(1)因为 f( )= 2, 3 π π 2 所以 Acos( + )= 2,A= =2. 12 6 π cos 4 4π 30 (2)因为 f(4α + )=- , 3 17 1 4π π 所以 2cos[ (4α + )+ ] 4 3 6 π 30 =2cos(α + )=- , 2 17 15 2π 8 所以 sinα = .又因为 f(4β - )= , 17 3 5 1 2π π 所以 2cos[ (4β - )+ ] 4 3 6 8 4 =2cosβ = ,所以 cosβ = , 5 5 π 8 3 又因为 α ,β ∈[0, ],所以 cosα = ,sinβ = , 2 17 5 所以 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = 8 4 15 3 13 × - × =- . 17 5 17 5 85

12.已知 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),其中 0<α <β <π ,若 ka+b 与 a -kb 长度相等,求 β -α 的值(k 为非零的常数). 解:由题意得 ka+b=(kcosα +cosβ ,ksinα +sinβ ),

a-kb=(cosα -kcosβ ,sinα -ksinβ ),
所以|ka+b|= k +1+2k |a-kb|= k +1-2k
2 2

β -α β -α ,



因为 ka+b 与 a-kb 长度相等,

所以 k +1+2k
2

2

β -α

= k +1-2k
2

2

β -α



所以 k +1+2kcos(β -α )=k +1-2kcos(β -α ), π 所以 cos(β -α )=0,又 0<α <β <π ,0 <β -α <π ,所以 β -α = . 2



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