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江苏省东台市创新学校高中数学苏教必修五导学案:3.4.1基本不等式的证明


学科:数学 主备人:

年级:高二 学生姓名:

课题:3.4.1 基本不等式的证明 得分:

学习目标: 1. 理解基本不等式的内容及证明. 2. 能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小 3. 能初步运用基本不等式证明简单的不等式 学习难点: 1. 基本不等式证明 2. 运用基本不等式证明简单的不等式 学习方法:自主预习,合作探究,启发引导 一、导入亮标 探究点一 基本不等式的证明 思考 1 观察下列实验数据,你能得出两个正数 a,b 的算术平均数和几何平均数之间具有 怎样的大小关系?

a

30

59

92

70

25

11

b

39

99

23

99

54

100

ab a+b
2

34.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17

34.5

79

57.5 84.5 39.5 55.5

a

68

58

11

29

20

b

2

11

80

5

20

ab

11.66 25.26 29.66 12.04

20

a+b

2

35

34.5 45.5

17

20

结论是:

思考 2 要证明 a<b,可以采用比较大小的方法,即做差、变形后看差的正负,这种证明不 等式的方法称为比较法,如何用比较法证明 ab≤a+2 b?
a+2 b- ab=

思考 3 基本不等式还可以怎样证明? 思考 4 如果把 ab看作是正数 a,b 的等比中项,a+2 b看作是正数 a,b 的等差中项,该定

理如何叙述?

二、自学检测

1.算术平均数与几何平均数

设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为

,几何平均数为

2.重要不等式

如果 a,b∈R,那么 a2+b2

3.基本不等式 ab

a+b 2

2ab(当且仅当 a=b 时取“=”).

(1)基本不等式成立的条件:

.

(2)等号成立的条件:当且仅当

时取等号.

4.基本不等式的常用推论
(1)ab≤??a+2 b??2≤a2+2 b2(a,b∈R);
(2)ba+ab≥2(a,b 同号); (3)当 ab>0 时,ba+ab≥2;当 ab<0 时,ba+ab≤-2;
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).

三、合作探究

例 1 设 a,b 为正数,证明下列不等式: (1)ab+ba≥2;(2)a+1a≥2. 反思与感悟 证明中把ba,ab,分别看作基本不等式中的 a,b 从而能够应用基本不等式;在
利用基本不等式证明的过程中,常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成

适当的数、式,以便于利用基本不等式.

跟踪训练 1 已知 a,b,c 为不全相等的正数,求证:a+b+c> ab+ bc+ ca.

例 2 已知 a,b,c 都是正实数,且 a+b+c=1,求证:1a+1b+1c≥9.

反思与感悟 使用基本不等式证明问题时,要注意条件是否满足,同时注意等号能否取到, 问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换,多次使用基本不等式,要注意等号能否同时成 立. 跟踪训练 2 设 b>a>0,且 a+b=1,则此四个数12,2ab,a2+b2,b 中最大的是________.
探究点二 基本不等式的应用 例 3 已知函数 y=x+x+162,x∈(-2,+∞),求此函数的最小值. 反思与感悟 应用基本不等式求函数的最值应满足的条件:(1)两数均为正数;(2)必须出现 定值(和为定值或积为定值);(3)等号要取到(等号成立取得的值要在定义域范围内);(4)若多
次应用时,则每一个等号要同时取到. 跟踪训练 3 已知函数 y=x+1x,x∈(-∞,0),求函数的最大值.

四、展示点评

a+b 1.两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,即 ab≤ 2 .

2.证明不等式的常用方法有:比较法、分析法、综合法.

a+b 3.在不等式 a2+b2≥2ab 和 2 ≥ ab中,“当且仅当…时,取‘=’号”的含义:一方面:

a+b

a+b

当 a=b 时, 2 = ab;另一方面:当 2 = ab时,也有 a=b.

4.由基本不等式变形得到的常见的结论

(1)ab≤(

a

? 2

b

)2 ≤a2+2 b2;

a+b (2) ab≤ 2 ≤

a2+b2 2 (a,b 均为正实数);

(3)ba+ab≥2(a,b 同号);

(4)(a+b) ?? 1 ? 1 ?? ≥4(a,b 均为正实数); ?a b?

(5)a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

5.基本不等式的应用:证明不等式及解决简单的最大(小)值问题.

五、检测清盘 1.已知 a>0,b>0,则1a+1b+2 ab的最小值是______.

2.已知 x,y∈R+,且满足3x+4y=1,则 xy 的最大值为________.

3.设 a、b 是实数,且 a+b=3,则 2a+2b 的最小值是______. 4 . 设 a>2,则 a+a-1 2的最小值是________.

5.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的不等式序号是________.

①a2+b2>2ab ②a+b≥2 ab

③1a+1b>

2 ab

④ba+ab≥2

6.函数 y=log2??x+x-1 1+5?? (x>1)的最小值为______.

7.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则1a+1b的最小值为________.

8.若 a<1,则 a+a-1 1有最____ (填“大”或“小”)值,为____________________. 9.若不等式 x2-ax+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立,则 a 的取值范围是________. 10.已知函数 y=x2-x-2x1+5,x∈(1,+∞),求函数的最小值.
11. 若对任意 x>0,x2+3xx+1≤a 恒成立,求 a 的取值范围.



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