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2019年【合工大】《测试技术》课件 第一章.ppt_图文


第一章 信号及其描述

第一节 信号的分类与描述
第二节 周期信号与离散频谱 第三节 瞬变非周期信号与连续频谱 第四节 随机信号

? 一、信号的分类 ? 1.确定信号与随机信号 ? 确定性信号——若信号可以表示为一个确定的时间关系 式,因而可确定其任何时刻的量值,这种信号称为确定 性信号。

? (1)周期信号——周期信号是按一定时间间隔周而复始, 无始无终,不断重复出现的信号。
x(t ) ? x(t ? nT0 )(n ? 1, 2,3 )

? 例:

k x(t ) ? x0 sin( t ? ?0 ) m x0 , ?0 ? 取决于初始条件的常数 m —质量 k —弹簧刚度 t —时刻 其周期为T0 ? 2? / k / m , 圆频率?0 ? 2? / T0 ? k / m

? (2)非周期信号 ? 将确定性信号中那些不具有周期重复性的信号 称为非周期信号。 ? 准周期信号——是由两种以上的周期信号合成的, 但其组成分量间无法找到公共周期,因而无法按 某一时间间隔周而复始重复出现。 ? 除准周期信号之外的其他非周期信号,是一些或 在一定时间区间内存在,或随着时间的增长而衰 减至零的信号,并称为瞬变非周期信号。

? 图1-1所示的振动系统, 若加上阻尼装置后

x(t ) ? x0e

? at

sin(?0t ? ?0 )

? 随机信号是一种不能准确预测其未来瞬时值,也 无法用数学关系式来描述的信号。 ? 但是,它具有某些统计特征,可以用概率统计方 法由其过去来估计其未来。随机信号所描述的现 象是随机过程。 ? 自然界和生活中有许多随机过程,例如汽车奔驰 时产生的振动、环境噪声等。

? 2.连续信号和离散信号 ? 连续信号——在连续的时间范围内有定义的信号 称为连续时间信号,简称为连续信号或连续数据 (图2-1a)。这里“连续”是指函数的定义域—— 时间,是连续的。

? 离散信号——在一些离散的瞬间才有定义的信 号称为离散时间信号,简称离散信号或离散数 据(图2—1b)。

? ‘这里“离散”是指函数的定义域——时间是 离散的,它只取某些规定的值。即在一些离散 时间tk(k=0,±1,±2,…)有信号,在其余的时间, 函数没定义。时刻tk和tk+1之间的间隔 Tk=tk+1-tk可以是常数,也可以随k而变化。 一般只讨论Tk等于常数的情况。这时的离散 信号也常称为序列。

连续信号的幅值可以是连续的,也可以是离散的,时间和幅值均为连
续的信号常称为模拟信号。对离散信号中,幅值为离散的信号,称为 数字信号。在实际应用中,连续信号与模拟信号两个名词常常不予区

分,离散信号与数字信号两个名词也常互相通用。一般,在研究理论
问题时常用“连续”、“离散”二词,而讨论具体的实际问题时常用 “模拟”、“数字”二词。

连续性的周期信号可表示为
x(t)=x(t+nT0) x(n)=x(n+mk)
(n=0,±1,±2,…)

(2-1) (2-2)

离散性的周期信号可表示为
(m=0, ±1, ±2,…)

只要给出周期信号在任一周期的函数或波形,便可确知它在任一时刻
的数值。 例如 集中参量的单自由度振动系统(图2-3)作无阻尼自由振动时, 其位移x(t)就是确定性的,可用式(2-3)来确定质点的瞬时位置

非周期信号——将确定性信号中那些不具有周期重复性的信号称为非周期 信号。包括准周期信号和瞬变非周期信号两种。 准周期信号准周期信号是由有限个周期信号合成的,但各周期分量之间无 法找到公共周期,因而无法按某一时间间隔周而复始重复出现。 2 例如 x(t ) ? sin t ? sin 2t 是两个正弦信号的合成,其频率比 ?1 / ?2 ? 1/ , 不是有理数,不成谐波关系。

瞬变非周期信号——在一定时间区间内存在,或随着时间的增长而衰减至 零的信号。

如有阻尼振动系统的位移信号、用锤子敲击
物体时的敲击力信号。图2-4是后者的波形, 其数学表达式为式

F ? Ae

?? t

sin ?t

(0<t<τ)

(2-5)

3.能量信号与功率信号
能量信号——在无限时间周期内,信号的总能量是个有限的数值而非无 穷大,这种信号我们称之为能量信号。
??

??

?

x 2 (t )dt ? ?

例如 单个方波、单个三角波

功率信号——在无限时间周期内,信号的总能量为无穷大,但其平均功
率不为无穷小,而为有限值。这种信号我们称之为功率信号。 例如 周期方波、周期三角波等

?

??

??

x 2 (t )dt ? ?

(2-7)

1 t2 ? t1

?

t2

t1

x 2 (t )dt ? ? (2-8)

4.实信号与复信号

实信号——物理可实现的信号都是时间的实函数,其在各时刻的函数值均
为实数。例如,单边指数信号、正弦信号、余弦信号等,统称为实信号。 复信号——虽然实际上不能产生复信号,但为了理论分析的需要,常常利

用复信号的概念。在连续信号中最常用的是复指数信号。
复指数信号可表示为

x(t ) ? est
式中

?? ? t ? ?

(2 ? 9)

s=σ±jω--复数; σ--s的实部,常记做Re[s]; ω--s的虚部,常记做Re[s]; 根据欧拉公式,上式可展开为

x(t ) ? e(? ? j? )t ? e? t cos ?t ? je? t sin ?t
实部 虚部
Re[est ] ? e? t cos ?t ,

(2 ?10)

表示余弦指数; 表示正弦指数。

Im[est ] ? e? t sin ?t ,

复指数的一些重要性质: 1)它对时间的微分和积分仍然是复指数信号。 2)任何时间信号总可以表示成为复指数信号的离散和连续和。 实信号示例 周期方波、周期三角波、准周期信号等。





确定性信号

周期信号

简单周期信号

复杂周期信号 非周期信号 准周期信号 瞬变非周期信号

非确定性信号

非平稳随机过程
平稳随机过程
各态历经随机过程 非各态历经随机过程

三、信号的时域描述和频域描述

时域描述——又称为波形描述是指测
量中所观测到或记录到的信号以时间 为独立变量,则称为信号的时域描述。

信号的时域描述一般能反映信号的幅
值随时间变化状态,但不能直接反映 信号中的频率信息。 频域描述——又称频谱描述是指测量中所观测到或记录到的信号转换成以 频率作为独立变量来描述信号称为信号的频域描述。它可表述信号的频率 结构、各频率成分的幅值、相位关系。信号的时域描述和频域描述可以通 过适当的方法相互转换,而且包含同样的信息量。

用坐标图描述信号时,若横坐标为时间t,纵坐标为幅值的描述方

式称为时域描述。若横坐标为频率f(或圆频率ω),则称为频域描述。
这时实际上也是将信号中的各频率成分按序排列,故称之为信号的“频 谱”。对横坐标为频率,纵坐标为幅值的称为幅频谱;而对横坐标为频

率,纵坐标为相位的称为相频谱,图2—5为一个周期方波信号的时域及
幅频谱、相频谱的图形。 信号时域波形

信号频域幅频谱

第二节 周期信号与离散频谱
一、周期信号的分解 傅立叶级数——任何周期信号在有限区间上,当其满足狄里赫来 条件时,都可展开成一系列正交函数的线性组合的无穷级数。 傅立叶级数有多种形式 三角展开式、复指数展开式是常见的形 式 1、傅立叶级数三角展开式 把x(t)展开成下式
x(t ) ? a0 ? ? An sin(n?0t ? ?n )
n ?1 ?

展开过程如下:

x(t ) ? a0 ? ? (an cos n?0t ? bn sin ?0t )
n ?1

?

式中 a0—常值分量

1 a0 ? T0
2 an ? T0 2 bn ? T0

?

T0 / 2

?T0 / 2

x(t )dt

an—余弦分量的幅值
bn—正弦分量的幅值

?

T0 / 2

?T0 / 2
T0 / 2

x(t ) cos n?0tdt
x(t ) sin n?0tdt
(2-12)

?

?T0 / 2

T0—周期;
ω0—园频率, n=1,2,3,…

?0 ?

2? T0

三角展开式中
An ? an 2 ? bn 2
—— n次谐波的振幅,它是n的偶函数;

an —— n次谐波的相位,它是n的奇函数; bn 可见,周期信号是由一个或几个,乃至无穷多个不同频率的谐波叠

?n ? arc tan

加而成的。 其中第一项a0是常值项,它是周期信号中所包含的直流分量; 第二项中 An sin(n?0t ? ?n ) 称为谐波,An是n次谐波的振幅,φn是 其初相角。 ∑ 表示周期信号可以分解为各次谐波之和。 通常把ω0称为基频,n是整数序列,各次谐波成份的频率都是ω0的

整倍数。
相邻频率的间隔 △ω=ω0=2π/T0 。

? ? ? ? ? ? ? ? ?

讨论: (Ⅰ)如果x(t)为偶函数 a0≠0,an≠0,bn=0 傅立叶级数为 常数项+余弦项 (Ⅱ)如果x(t)为奇函数 a0=an=0,bn≠0 傅立叶级数为 正弦项 (Ⅲ)如果为x(t)=-x(t+T/2)称旋转对称函数 那么a0=0,a2n=0,b2n=0;a2n+1≠0,b2n+1≠0,傅立叶级 数为奇次谐波函数

2、傅立叶级数的复指数展开式

用正交函数集来表示周期信号,另一种常用的方法是傅立叶级
数的指数表示法,称为指数傅立叶级数。 三角级数与指数级数并不是两种不同类型的级数,而只是同一 级数的两种不同的表示方法。指数级数形式比三角级数形式更简化 更便于计算。 根据欧拉公式

e ? j?t ? cos ?t ? j sin ?t 1 ? jn?1t cos n?1t ? ? e ? e jn?1t ? 2 1 ? jn?1t sin n?1t ? j ? e ? e jn?1t ? 2

? 式(1-7)改写为
x(t ) ? a0 ? ? (an cos n?0t ?bn sin n?0t )
n ?1 ? ?

1 ? jn?0t j ? jn?0t jn?0t ? a0 ? ? [an (e ? e ) ? bn (e ? e jn?0t )] 2 2 n ?1 1 1 ? jn?0t ? a0 ? ? [ (an ? jbn )e ? (an ? jbn )e jn?0t )] 2 n ?1 2
?

? 令

1 cn ? ( an ? jbn ) 2 1 c? n ? ( an ? jbn ) 2 c0 ? a0

上式可化为:
x(t ) ? c0 ? ? c? n e ? jn?0t ? ? cn e jn?0t
n ?1 n ?1 ? ?

即:x(t ) ?

n ???

jn?0t c e ? n (n ? 0, ?1, ?2, )

?

an ? jbn cn ? 2 1 2 ? ? 2 T0
T0

T ? 0

?

2

x(t )[cos n?0t ? j sin n?0t ]dt

2

1 cn ? T0 1 ? T0

T0

T ? 0 T0

? ?

2

1 ? jn?0t 1 ? jn?0t j ? jn?0t jn?0t x(t )[ e ? e ] ? j ? [e ? e ]dt 2 2 2 x(t )e
? jn?0t

2

2

dt

T ? 0

2

在一般情况下cn是复数,可以写成 cn ? cnR ? jcnI ? cn e 式中: cn ? cnR
2 2 j?n

cnI ? cnI ,?n ? arctan cnR

? 负频率说明

C0 ? a0 ? A0 1 1 Cn ? (an ? jbn ), C? n ? (an ? jbn ) 2 2 1 1 2 2 Cn ? C? n ? An ? a n ? b n 2 2

? 三、周期信号的强度表述 ? 周期信号的强度以峰值、绝对均值、有效值和 平均功率来表述

? 1.峰值和峰——峰值

x p ? x(t ) max x p ? p为最大瞬时值与最小瞬时值之差
? 对信号的峰值和峰一峰值应有足够的估计,以便 ? 确定测试系统的动态范围。

? 一般希望信号的峰一峰值 在测试 系统的线性区域内,使所观测(记 录)到的信号正比于被测量的变化 状态。如果进入非线性区域, 则 信号将发生畸变,结果不但不能正 比于被测信号的幅值,而且会增生 大量谐波。

? 2。均值和绝对均值

ux u

1 ? T0 1 ? T0

T0

?
0 T0

x (t ) dt x (t ) dt

x

?
0

? 信号的常值分量和周期信号全波整流后的均值

? 3。均方值和均方根值 (有效值)

P av

1 ? T0

T0

?
0

x (t )dt
T0

2

xmax ?

1 T0

?x
0

2

(t )dt

? 信号的峰值、绝对均值和有效值可用三值 电压表来测量,也可用普通的电工仪表来 测量。

? 峰值可根据波形折算或用能记忆瞬峰示值 的仪表测量,也可以用示波器来测量。

? 均值可用直流电压表测量。 ? 因为信号是周期交变的,如果交流频率较 高,交流成分只影响表针的微小晃动,不 影响均值读数。

? 当频率低时,表针将产生摆动,影响读数。 这时可用一个电容器与电压表并接,将交 流分量旁路,但应注意这个电容器对被测 电路的影响。

? 值得指出,虽然一般的交流电压表均按有 效值刻度,但其输出量(例如指针的偏转角) 并不一定和信号的有效值成比例,而是随着 电压表的检波电路的不同,其输出量可能与 信号的有效值成正比例,也可能与信号的峰 值或绝对均值成比例。不同检波电路的电压 表上的有效值刻度,都是依照单一简谐信号 来刻度的。

? 这就保证了用各种电压表在测量单一简谐 信号时都能正确测得信号的有效值,获得 一致的读数。 ? 然而,由于刻度过程实际上相当于把检波 电路输出和简谐信号有效值的关系“固化” 在电压表中。这种关系不适用于非单一简 谐信号,因为随着波形的不同,各类检波 电路输出和信号有效值的关系已经改变了, 从而造成电压表在测量复杂信号有效值时 的系统误差。这时应根据检波电路和波形 来修正有效值读数。

? 三、周期信号的频域描述 ? 一)幅频谱 ? 幅频谱——是指周期信号各谐波分量的幅 值与频率或角频率之间的关系。 ? 例如 单边幅频谱图An——ω ? 双边幅频谱图│Cn│——ω ? 实频谱图Re(Cn)——ω ? 虚频谱图Im(Cn)——ω ? ?

? 二)相频谱 ? 相频谱——是指周期 信号各谐波分量的初 ?n ——? 相与频率之间的关系。? ——? n ? 例如

an ?n ? arctan bn

?bn ? n ? arctan ? ?900 ? ?n an

? n为奇函数

? 例2-1 求图2-6中周期性三角波的傅立叶级数。

? ? ?

? 解 在的一个周期信号 可表示为

? ?A ? ? x(t ) ? ? ?A ? ? ?

T0 2A t, ? ?t ?0 T0 2 T0 2A t, 0 ? t ? T0 2

例1-1 求图2-6中周期性三角波的傅立叶级数。

解: 在的一个周期信号可表示为 T0 2A A? t ? ?t ?0 T0 2
x(t ) ? A? 2A t T0 0?t ? T0 2

常值分量的幅值

2 a0 ? T0 ? A 2

?

T0

2

0

(A ?

2A t )dt T0

余弦分量的幅值为

2 an ? T0 4 ? T0

? ?
0

T0

2 2

?T0

x(t )conn?0tdt 2A t )conn?0tdt T0

T0

2

(A ?

4A 2 n? ? 2 2 sin ? n? 2

4A n 2? 2 0

n ? 1,3,5, n ? 2, 4, 6,

正弦分量的幅值为

1 bn ? T0

?

T0

?T0

2 2

x(t )sin n?0 tdt ? 0

该周期性的傅立叶级数展开为

x(t ) ? ? ? ?

A 4A 1 1 ? 2 (cos ?0t ? 2 cos 3?0t ? 2 cos 5?0t ? ) 2 ? 3 5 A 4A ? 1 ? 2 ? 2 cos n?0t (n ? 1,3,5, ) 2 ? n ?1 n A 4A 1 1 0 0 ? 2 [sin(?0t ? 90 ) ? 2 sin(3?0t ? 90 ) ? 2 sin(5?0t ? 900 ) ? 2 ? 3 5 A 4A ? 1 ? 2 ? 2 sin(n?0t ? 900 ) (n ? 1,3,5, ) 2 ? n ?1 n

]

各频率分量的幅值

An ? an 2 ? bn 2 ? an 2 ? an
an ?n ? arctan ? 900 bn

各频率分量的相位

从幅频图上可见谐波 的幅值是以 律收敛。

1

n

2 的规

例1-2 画出余弦、正弦函数的频谱图。 解:根据式1-15得

1 ? j?0t j?0t cos ?0t ? (e ?e ) 2 1 ? j?0t j?0t sin ?0t ? j (e ?e ) 2
余弦函数只有实频谱图,且与纵轴偶对称;
正弦函数只有虚频谱图,且与横轴奇对称;

图是这两个函数的频谱图

? 四、周期信号幅频谱具有三个特点 1、周期信号的频谱是离散的——离散性 ? ? ? 2、每条谱线只出现在基波频率的整数倍上,基 波频率是诸分量频率的公约数——谐波性 ?

?

? 3、各频率分量的谱线的高度表示该谐波的 幅值。工程上常见的周期信号,其谐波幅 值总的趋势是随谐波次数的增高而减少— —收敛性 ? 有了收敛性在谱分析中就没有必要取那些 阶次过高的谐波分量。 ? ? 4、时域收敛越快,则频域收敛越慢,反 之亦然。

第三节 瞬变非周期信号极其连续频谱

一、瞬变非周期信号的 谱密度与傅立叶变换

一)公式推导

? 周期为T0的信号x(t)其频谱是离散的。 ? 当x(t)的周期 T ? ? 时,则该信号就成为非周期信号 了。 2? ?? ? ? ? T , ? 周期信号频谱谱线的频率间隔为 当周期趋于无穷大时,其频率间隔趋于无穷小,谱 线无限靠近,变量 ? 连续取值以致离散谱线的顶 点最后演变成一条连续曲线。 ? 所以非周期信号的频谱是连续的。可以将非周期信 号理解为由无限多个、频率无限接近的频率成分所 组成的。
0

0

0

? 周期信号x(t)的傅立叶级数复指数形式为:
x(t ) ?
n ???

?
T0

?

cn e jn?0t

1 cn ? T0
?

T ? 0

?

2

x(t )e ? jn?0t dt
T0 2

2

1 x (t ) ? ? ( T0 n ???

T ? 0

?

x (t )e ? jn?0t dt )e jn?0t

2

? 当周期趋于无穷大时,有
?? ? d? , n?0 ? ? , ? ? ? 于是有
?

x (t ) ? ?

?? ?

? ?

d? ( ? x (t )e ? j?t dt )e j?t 2? ??
?

??

1 ( ? x (t )e ? j?t dt )e j?t d ? 2? ??
?

?

令: 1 X (? ) ? 2?

??

?

x (t )e ? j?t dt

? 于是有如下式子:
1 X (? ) ? 2? 和
? ? ??

?

x (t )e ?

j? t

dt

x (t ) ?

??

?

X (? )e j? t d ?

称为傅立叶变换对,也可以写成
?

X( f ) ? 和

??

?

x (t )e ?

j? t

dt

1 x (t ) ? 2?

?

??

?

X (? )e j? t d ?

把? ? 2? f 的关系代入上式,则可得如下傅立叶变换对 X ( f ) ? ? x(t )e
?? ? ? j 2? ft

dt


?

x(t ) ?

??

? X ( f )e

j 2? ft

dt

其中有: X ( f ) ? 2? X (? )

一般X(f)是实变量f的复函数,可以写成

X( f ) ? X( f ) e

j? ( f )

(1 ? 30)

式中┃X(f)┃ 为信号x(t)的连续幅值谱,φ(f)为信号 x(t)的连续相位谱。由于当周期无限增长时,各频率分 量的幅度也都趋近于无穷小,因此┃X(f)┃不是频率为f

的分量的幅值,而是f分量邻近单位频宽上的幅值,量纲
是单位频率的幅值。它类似于物质的密度定义,故称 ┃X(f)┃为频谱密度。本书为了方便起见,在不会引起 紊乱的情况下,仍称┃X(f)┃为频谱。

? ? ? ?

傅立叶积分的物理意义: 如信号x(t)符合以下两个条件: (1)在无限区间上满足狄里赫来条件; (2)在无穷区间上绝对可积.
? ??

?

x(t ) dt ? ?

? 则该信号可以分解为无穷多个幅值无穷小的谐 波分量之和。

二)瞬变非周期信号的描述 1)时域描述

2)频域描述
a.幅频谱 幅频谱——是指非周期信号频率分量的幅值密度与频率之间的 关系。即┃X(f)┃——f; b.相频谱

相频谱——是指非周期信号各频率分量的相位频率之间的关系。
即φ(f)——f

例2-3 求矩形窗函数w(t)的频谱。 解:函数w(t)(图2-12)的表达式为

1 w(t ) ? 0

T t ? 2 t ? T 2

常称为矩形窗函数,其频谱为

W ( f ) ? ? w(t )e ? j 2? ft dt
??

?

? ? e ? j 2? ft dt ?


T 2 T ? 2

?1 (e ? j? Tf ? e j? Tf ) j 2? f

1 ? j? fT sin(? fT ) ? ? (e ? e j? fT ) 2j
(2 ? 37)

代入上式得

sin ? fT W( f ) ? T ? T sin c(? fT ) ? fT

式中T称为窗宽。其频谱见图(2-13)

W(f)函数只有实部,没有虚部。其幅值频谱为

W ( f ) ? T sin c(? fT )

(2 ? 38)

其相位谱视sinc(πfT)的符号而定。当sinc(πfT)为正值时相角为 零,当sinc(πfT)为负值时相角为π。 在这里我们定义了一个函数sincθ=sinθ/θ,该信号在信号分析中 很有用,它有很多名称,采样函数、抽样函数、滤波函数、内插函 数等。

它的图形见图2-14,有以下主要性质:

1.以2π为周期,随自变量增大而做衰减振荡。 2.sinc函数为偶函数 3.时域有限,频域无限 4.值为窗的面积;频谱的第一个过零点为窗长的倒数

三)瞬变非周期信号幅频谱具有三个特点 1、瞬变非周期周期信号的频谱是连续的——连续性。 2、因为基波为无穷小谱线是连续的出现在任何频率上,基波频 率是诸分量频率的公约数——非谐波性。 3、各频率分量的谱线的高度表示该谐波的幅值。其谐波幅值总 的趋势是随谐波次数的增高而减少——收敛性。

二、傅立叶变换的主要性质
1、函数的奇偶虚实性
2、线性叠加性

3、对称性
4、时间尺度改变特性 5、时移、频移特性 6、卷积特性 7、微积分特性

? 1.奇偶虚实性
?

X(f ) ? ?

?? ?

? ?

x(t )e ? j 2? ft dt x(t ) cos 2? ftdt ? j
?

??

??

?

x (t ) sin 2? ftdt

? Re X ( f ) ? j Im X ( f )

? ? ? ? ?

如果 x(t)为实偶函数,则X(f)为实偶函数 如果 x(t)为实奇函数,则X(f)为虚奇函数 如果 x(t)为虚偶函数,则X(f)为虚偶函数 如果 x(t)为虚奇函数,则X(f)为实奇函数 例如:矩型窗函数

? 2、线性叠加性

??? X ( f ), y (t ) ??? ??? Y ( f ) 如x(t ) ??? ?1 ?1
F F F F

??? aX ( f ) ? bY ( f ) 则ax(t ) ? by (t ) ??? ?1
F F

其中:a、b为常数

? 3、对称性
F ??? 如x(t ) ??? X(f ) ?1 F

??? x(? f ) 则X(t ) ??? ?1
F F

? 证明如下:

?

x(t ) ?

??

?

X ( f )e j 2? ft df

以 ? t替换t得
?

x ( ?t ) ?

??

?

X ( f )e ? j 2? ft df

将t和f 互换,即得
?

x(? f ) ?

?? F ?? ? x(? f ) 所以X(t)??? -1 F

?

X (t )e ? j 2? ft df

证毕

? 4、时间尺度改变特性
F ??? 如x(t ) ??? X(f ) ?1 F F 1 f ??? 则x(kt ) ??? X( ) ?1 F k k 证明如下: f -j2? kt 1 1 f -j2? ft k x(kt)e dt ? ? x(kt)e dkt ? X( ) ? k -? k k -? ? ?

? ? ?

时域扩展,比例缩 小(k<1,k=1/2); 则,频域宽度变窄, 幅值增大,能量往 低频段集中; 对后续设备、仪器 的频带要求低,但 效率低;

?
? ?

例如:磁带快录 慢放;

? ? ? ? ?

时域扩展,比例缩小(k<1, (Ⅱ)时域压缩,比例扩大(k>1,k=2); 则,频域宽度变宽,幅值降低,能量往高频段分散; 对后续设备、仪器的频带要求高,但效率高; 例如:磁带慢录快放;

? 5、时移和频移特性

??? X ( f ) 如x(t ) ??? ?1
F F ? j 2? ft0 ??? 则x(t ? t0 ) ??? X ( f )e ?1 F F

和 x(t )e
? j 2? f 0 t

??? X ( f ??? F ?1
F

f0 )

? 6、卷积特性
F F ??? ??? 如x1 (t ) ??? X ( f ), x ( t ) X2( f ) ??? 1 2 ?1 ?1 F F F ??? 则x1 (t ) ? x2 (t ) ??? X1( f ) X 2 ( f ) ?1 F F ??? x1 (t ) x2 (t ) ??? X1 ( f ) * X 2 ( f ) F ?1

现以时域卷积为例证明如下:
? ? j 2? ft [ x ( ? ) x ( t ? ? ) d ? ] e dt ? ? 1 2 ? ?

?? ??

? ?

?? ?

? ?

x1 (? )[ ? x2 (t ? ? )dt ]e ? j 2? ft d?
??

?

x1 (? ) X 2 ( f )e ? j 2?? t d?

??

=X 1 ( f ) X 2 ( f )

? 7、微积分特性
F ??? 如x(t ) ??? X(f ) ?1 F F d n x(t ) ??? n 则 ( j 2? f ) X ( f ) ?1 n ??? F dt 和 F d X(f ) ??? ( ? j 2? t ) x(t ) ??? F ?1 df n n n

1 ??? 同样: x ( t ) dt X(f ) ??? ?1 ? F j 2? f ??
F

t

? 三、几种典型信号的频谱 ? 1、矩形窗函数

2、δ函数及其频谱
(1)δ函数的定义 在ε时间内激发一个矩形脉冲Sε(t)(或三角形脉冲、双边指数脉冲 、钟形脉冲等),其面积为1(图1——16)。当ε→0时,Sε(t)的极限 就称为δ函数,记作δ(t)。δ函数也称为单位脉冲函数。

? δ(t)的特点有: ? 从函数值极限的角度

??, t ? 0 ? (t ) ? ? ?0, t ? 0
从面积的角度来看

?

?

??

? ( x)dt ? lim ? ?? (t )dt ? 1
? ?0 ??

?

(2)δ函数的采样性质 如果δ函数与某一连续函数f(t)相乘,显然其乘积仅在,t=0处为

f(0)δ(t),其余各点(t≠0)之乘积均为零。其中f(0)δ(t)是一个
强度为f(0)的δ函数;也就是说,从函数值来看,该乘积趋于无限 大,从面积(强度)来看,则为f(0)。

如果δ函数与某一连续函数f(t)相乘,并在(∞,-∞)区间中积分,
则有

?

?

??

? (t ) f (t )dt ? ? ? (t ) f (0)dt
??

?

? f (0) ? ? (t )dt ? f (0)
??

?

(2 ? 41)

同理,对于有延时t0的δ函数 δ(t-t0),它与连续函数f(t)的乘积只 有在(∞,-∞)时刻不等于零,而等于强度为f(t0)的δ函数;在(∞, -∞)区间内,该乘积的积分为

?

?

??

? (t ? t0 ) f (t )dt ? ? ? (t ? t0 ) f (t0 )dt
??

?

? f (t0 )

(1 ? 42)

(1—41)和(1—42)表示δ函数的采样性质。此性质表明任何函数f(t)和
δ(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的δ函数δ(t-t0),而该乘积在无 限区间的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。这个性质是连续信 号离散采样的依据。

(3)δ函数与其他函数的卷积 任何函数和δ函数卷积是一种最简单的卷积积分。 例如,一个矩形函数x(t)与δ占函数的卷积为(图2—16a):
?

x(t ) ? ? (t ) ? ? x(? )? (t ? ? )d?
??

? ? x(? )? (? ? t )d? ? x(t )
??

?

(1 ? 43)

同理,当δ函数为δ(t±t0)时(图1-16b),

x(t ) ? ? (t ? t0 ) ? ? x(? )? (t ? t0 ? ? )d?
??

?

? x(t ? t0 )

(1 ? 44)

可见函数x(t)和δ函数的卷积的结果,就是在发生δ函数的坐标位置上 (以此作为坐标原点)简单地将x(t)重新构图。

(4)δ函数的频谱 将δ的傅立叶变换和逆变换为下式,其图形见图(2-17)进行傅里 δ(t)的傅立叶变换 δ(t)的傅立叶逆变换

?( f ) ? ? ? (t )e? j 2? ft dt ? e0 ? 1
??

?

? (t ) ? ? 1e j 2? ft df
??

?

故知时域的δ函数具有无限宽
广频带的频谱,而且在所有的 频段上都是等强度的(图2-17),

这种频谱常称为“均匀谱”

根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质,可以得到下列傅里叶 变换对:

3、正、余弦函数的频谱密度函数 由于正、余弦函数不满足绝对 可积条件,因此不能直接应用 式(2—32)进行傅里叶变换, 而需在傅里叶变换时引入δ函 数。 根据欧拉公式正、余弦函数可 以写成 可认为正、余弦函数是把频 域中的两个δ函数向不同方 向频移后之差或和的傅里叶 逆变换。

1 ? j 2? f 0 t sin 2? f 0t ? j (e ? e j 2? f 0t ) 2 1 ? j 2? f 0 t cos 2? f 0t ? (e ? e j 2? f 0 t ) 2

1 sin 2? f 0t ? j ?? ( f ? f 0 ) ? ? ( f ? f 0 ) ? 2 1 cos 2? f 0t ? ?? ( f ? f 0 ) ? ? ( f ? f 0 ) ? 2

因而可求得正、余弦函数的傅里叶变换如下(图1—19)

4、周期单位脉冲序列的频谱 如图2—19所示的等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数,并

用comb(t,Ts)表示,即令

comb(t , Ts ) ?

n ???

? ? (t ? nT )
s

?

(1 ? 58)

式中Ts为周期;n为整数,n=0,±1,±2,…。因为此函数是周期函数, 所以可以把它表示为傅里叶级数的复指数函数形式

comb(t , Ts ) ?
1 Ck ? Ts

k ???

?Ce
k

?

j 2? kf s t

(1 ? 59)

式中fs=1/Ts,系数Ck为

?

Ts 2 T ? s 2

comb(t , Ts )e? j 2? kfst dt

因为在(-Ts/2,Ts/2)区间内,式(2-50)只有一个δ函数δ,而当t=0 时,

e? j 2? fst ? e0 ? 1

,所以
? j 2? kf s t

1 Ck ? Ts

?

Ts 2 T ? s 2

? (t )e

1 dt ? Ts

这样,式(1-59)可写成

1 comb(t , Ts ) ? Ts

k ???

j 2? kf s t e ?

?

因为

e j 2? kfst ? ? ( f ? kf s )

于是comb(t,Ts)的频谱(图2—19),comb(f,fs),也是梳状函数

1 ? 1 ? k comb( f , f s ) ? ? ? ( f ? kf s ) ? ? ? ( f ? ) Ts n??? Ts n??? Ts

(1 ? 60)

由图1-20可见,时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。若 时域周期为Ts,则频域脉冲序列的周期为1/Ts;时域脉冲强度为1, 频域中强度为1/Ts。

? ? ? ? ? ?

总结 傅立叶积分的公式推导 傅立叶变换的物理意义 瞬变非周期信号的频域描述 傅立叶变换的主要性质 几种典型信号的频谱

? ? ? ?

本章思考题 1、信号有几种常用的分类方法? 2、信号频域描述有什么用处? 3、频谱、频谱图、谱线、单边幅频图、双 边幅频图等概念? ? 4、在测试中如何应用傅立叶积分的性质和 典型信号的频谱来对动态测试信号进行频 域描述? ? 5、周期信号、非周期信号幅值频谱的特点? ? 6、随机信号的主要特征参数有哪些?

? 7、描述周期信号、非周期信号所采用的数学工具 分别是什么?他们的物理意义是什么? ? 8、单边频谱与双边频谱的关系? ? 9、信号分析的实质是什么? ? 10、抽样函数的频谱是什么? ? 11、幅频谱的物理意义是什么? ? 12、矩形窗函数、Comb函数在测试中各有有什 么作用? ? 13、准周期信号是能量信号还是功率信号?它的 频谱图是什么? ? 14、如何用简谐信号合成一个周期信号?

第四节 随机信号 一、概述

1、样本函数——对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录被称 为样本函数。 2、样本记录——对随机信号按时间历程所作的各次有限长时间观测记录 被称为样本记录。

3、随机过程——在同一试验条件下,全部样本函数的集合(总体)就是
随机过程。

{x(t)}={x1(t),x2(t),…,xi(t),…}

(1-61)

? 4、集合平均——随机过程的各种均值(均 值、方差、均方值和均方根值)的计算是 将集合中所有样本函数对同一时刻的观测 值取平均。 ? 5、时间平均——随机过程的各种均值(均 值、方差、均方值和均方根值)的计算如 果是按某单个样本函数的时间历程进行平 均的计算叫作时间平均。

根据集合平均和时间平均的关系不同可对随机过程进行
分类。 随机过程分类:平稳随机过程和非平稳随机过程。 而平稳随机信号又分为各态历经平稳随机过程和非各态 历经平稳随机过程





确定性信号

周期信号

简单周期信号

复杂周期信号 非周期信号 准周期信号 瞬变非周期信号

非确定性信号

非平稳随机过程
平稳随机过程
各态历经随机过程 非各态历经随机过程

二、随机信号的主要特征参数
描述各态历经随机信号的主要特征参数有:

1)均值、方差和均方值;
2)概率密度函数; 3)自相关函数; 4)功率谱密度函数。

1.均值、方差和均方值 (1)均值

1 ? x ? lim T ?? T
(2)方差

?

T

0

x(t )dt

(1 ? 62)

1 T ? x ? lim ? [ x(t ) ? ? x ]2 dt T ?? T 0
2

(1 ? 63)

(3)均方值

?x

2

1 T 2 ? lim ? x (t )dt T ?? T 0

(1 ? 64)

均值、方差和均方值之间的关系是

? x 2 ? ? x 2 ? ?x 2
对于集合平均,则时刻的均值和均方值为

(1 ? 65)

? x ,t
?
2

1

1 ? lim M ?? M
1 ? lim M ?? M

? x (t )
i ?1
M

M

i

1

(1 ? 66)
(1 ? 67)

x ,t1

2 x ? i (t1 ) i ?1

式中 M——样本记录总数
i——样本记录序号 ti——观测时间

2.概率密度函数——随机信号的概率密度函数是表示幅值落在指定区间 内的概率。

当样本函数的记录时间T趋于无穷大时,Ts/T的比值就是幅值落在 (x,x+△x)区间的概率,即 T PT [ x(t ) ? x ? ?x] ? lim x (1 ? 68) T ?? T 定义幅值概率密度函数P(x)为

P T [ x ? x (t ) ? x ? ?x ] P( x) ? lim ?x ?0 ?x

(1 ? 69)

概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息,是随机信号的主要特征
参数之一。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形,可以借此来识 别信号的性质。图1—23是常见的四种随机信号(假设这些信号的均值为 零)的概率密度函数图形。 当不知道所处理的随机数据服从何种分布时,可以用统计概率分布图和 直方图法来估计概率密度函数。

另外两 个描述 随机信 号的主 要特征 参数一 自相关 函数和 功率谱 密度函 数将在 第七章 中讲述。

三、样本参数、参数统计和统计采样误差 从前面可见用时间平均法计算随机信号特征参数,需要进行T趋向无 穷大的极限运算,它意味着要使用样本函数(观测时间无限长的样本 记录)。这是一个无法克服的困难。实际上只能从其中截取有限时间 的样本记录来计算出相应的特征参数(称为样本参数),并用它们来 作为随机信号特征参数的估计值。显然,样本参数将随所采用的样 本记录而异的,因而它们本身也是随机变量。若把参数φ的估计值

记为

?

,则随机信号的均值、均方值的估计值按下式计算

1 T ? x ? ? x (t ) dt T 0 1 T 2 ? x ? ? x (t ) dt T 0

(1-71)

用集合平均法计算随机信号特征参数时,也同样存在这种困难。其困难 表现在要求使用无限多个样本记录,即如式(2—57)、式(2—58)中趋于

无穷大的极限运算。实际上也只能使用有限数目的样本记录来计算相应
样本参数,并作为随机信号特征参数的估计值。例如“样本均值、均方 值的估计值用下式计算

? x ,t

1

1 ? M 1 ? M

? x (t )
i ?1 M i 1
(1-72)

M

? x ,t

1

?x
i ?1

2

i

(t1 )

其中,M、i分别为所采用的样本记录总数目和样本记录序号。

? 总之,随机信号特征参数分析无非就是由 有限样本记录获取样本参数,而后以样本 参数作为随机信号特征参数的估计值。显 然,这样做必定带来误差。这类误差称为 统计采样误差,其大小和样本记录的长度、 样本记录的数目有关。

? 设:

? ——被估计参数 ? ——估计值
?

? 均方差定义为
D[? ] ? E[(? ? ? ) 2 ] D[? ] ? E[(? ? E[? ]) ] ? E[( E[? ] ? ? 2 ]
2 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? [? ] ? b [? ]
2 2

? 其中
? [? ] ? E[(? ? E[? ]) 2 ]——估计值偏离期望平方的期望值
2 ? ? ?

—— ? 的方差 b [? ] ? E[( E[? ] ? ? 2 ]——估计值期望对被估计值的偏离量的
2 ? ?

?

期望值——正平方根成为估计偏差或偏差

? 分析表明,用式(1-71)和式(1—72)来估计 随机信号的均值和均方值时,其偏度误差 为零; ? 其随机误差(方差)则与样本记录数目M、样 本记录长度了的平方根成反比,即随机误 差要减小一半,M或T就必须增加4倍。 ? 对于时间平均估计来说,随机误差还与信 号的频带宽度的平方根成反比,信号频带 愈宽,愈容易获得误差小的估计。

随机信号特征参数分析就是由有限样本记录获取样本参数,而后以样 本参数作为随机信号特征参数的估计值。显然,这样做,必定带来误 差。这类误差称为统计采样误差,其大小和样本记录的长度、样本记 录的数目有关。 周期信号 傅立叶级数 离散频谱

瞬变非周期信号

傅立叶变换

连续频谱(密度函数)

统计分析 随机信号

样本估值

频谱分析

作 业
1. 说明信息与信号的定义及相互关系,并举例。 2. 测试系统的一般构成及各环节的作用。

3. 书后习题 1-1、 1-3、1-5、1-6 、1-7

周期信号傅立叶级数两种展开式之间的比较

C0 ? a0 ? A0 1 1 Cn ? (an ? jbn ), C? n ? (an ? jbn ) 2 2 1 1 2 2 Cn ? C? n ? An ? a n ? b n 2 2

二、周期信号的强度描述(时域描述)

周期信号的强度描述主要以峰值、绝对均值和平均功率来描述
1、峰值xp

xp ? x(t ) max

(2 ? 21)

峰值xp

是信号可能出现的最大瞬时值

峰—峰值xp-p 是在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。 对信号的峰值和峰—峰值应有足够的估计,以便确定测量系统的动态

范围。一般希望信号的峰-峰值在测量系统的线性区域内,使所观测(
记录)到的信号正比于被测量的变化状态。

如果进入非线性区域,则信号将发生畸变,结果不但不能正比于被测信号 的幅值,而且会增生大量谐波。

2、周期信号的均值、绝对均值

1 ?x ? T0

?

T0

0

x(t )dt

(2 ? 22)

周期信号的均值表示信号的常值分量也就是信号的直流分量

1 ?x ? T0

?

T0

0

x(t ) dt

(2 ? 23)

周期信号全波整流后的均值就是绝对均值 3、周期信号的有效值(均方根值)、平均功率 ? x 有效值是信号的 均方根值xrms,即

xrms

1 T0 2 ? x (t )dt ? T0 0

(2 ? 24)

有效值的平方——均方值就是信号的平均功率Pav,即

1 Pav ? T0

?

T0

0

x 2 (t )dt

(2 ? 25)

反映了信号功率的大小。

表中几种典型周期信号上述各值之间的数量关系。从表中可见,信号的均 值、绝对均值、有效值和峰值之间的关系随波形的不同而异。 信号的峰值xp、绝对均值

?x

和有效值xrms。可用三值电压表来测量,

也可用普通的电工仪表来测量。峰值。可用能记忆瞬峰示值的仪表或示波
器来测量,也可根据波形折算。均值可用直流电压表测量。因为信号是周 期交变的,如果交流频率较高,交流成分只影响表.针的微小晃动,不影 响均值读数。当频率低时,表针将产生摆动,影响读数。这时可用一个电 容器与电压表并接将交流分量旁路,但应注意这个电容器对被测电路的影 响

虽然一般的交流电压表均按有效值刻度,但其输出量(例如指针的 偏转角)并不一定和信号的有效值成比例,而是随着电压表的检波电路 的不同,其输出量可能与信号的有效值成正比例,也可能与信号的峰 值或绝对均值成比例。不同检波电路的电压表上的有效值刻度,都是 依照单一简谐信号来刻度的。这保证了用各种电压表在测量单一简谐 信号时都能正确测得信号的有效值,获得一致的读数。然而,由于刻 度过程实际上相当于把检波电路输出和简谐信号有效值的关系“固化” 在电压表中。这种关系不适用于非单一简谐信号,因为随着波形的不 同,各类检波电路输出和信号有效值的关系已经改变了,从而造成电 压表在测量复杂信号有效值时的系统误差。这时应根据检波电路和波 形来修正有效值读数。

三、周期信号的频域描述 一)幅频谱 幅频谱——是指周期信号各谐波分量的幅值与频率或角频率之间的关系 例如 单边幅频谱图An——ω 双边幅频谱图│Cn│——ω 实频谱图CnR——ω 虚频谱图CnI——ω 二)相频谱 相频谱——是指周期信号各谐波分量的初相与频率之间的关系。 例如 单边相频谱 双边相频谱 φn——ω φn——ω

例:求图示周期方波的傅立叶级数展 开式,并做相应幅频相频谱

周期方波函数表达式:
A x(t ) ? ?A T0 0?t ? 2 ? T0 ?t ?0 2

2 a0 ? T0

?

2 ?T0 2

T0

x(t )dt

T0 2 0 ? ( ??T0 x(t ) dt ? ? 2 x(t )dt ) 0 T0 2 T0 2 0 ? ( ??T0 ? Adt ? ? 2 Adt ) ? 0 0 T0 2

2 an ? T0

?

T0

?T0

2 2

x(t ) cos n?0tdt

T0 2 0 ? ( ??T0 x(t ) cos n?0tdt ? ? 2 x(t ) cos n?0tdt ) 0 T0 2 T0 2 0 ? ( ??T0 ? A cos n?0tdt ? ? 2 A cos n?0tdt ) 0 T0 2

T0 0 2A 2 ? sin n?0t T ) ? 0 ? (sin n?0t 0 Tn?0 0 2

2 bn ? T0

?

2 T0 ? 2

T0

x (t ) sin n?0tdt

T0 0 2 ? ( ? T0 x (t ) sin n?0tdt ? ? 2 x (t ) sin n?0tdt ) 0 T0 ? 2 T0 0 2 ? ( ? T0 ? A sin n?0tdt ? ? 2 A sin n?0tdt ) 0 T0 ? 2

4 A T0 2 ? sin n?0tdt ? 0 T0 T0 4A 1 2) ? ( ? cos n?0t T0 n?0 0 ? 4A 1 2? ? (1 ? cos n ) 2 ? T0 n T0 2 T0 2A 4A (1 ? cos n? ) ? n? n?

?

有:

4A ? x(t ) ? sin n?0t ? n? n ?1 4A ? ? ? cos(n?0t ? ) ? n? n ?1 2

其波形、幅值谱和相位谱分别如下图所示:

方波信号的波形、幅值谱和相位谱

四、周期信号幅频谱具有三各特点 1、周期信号的频谱是离散的——离散性。

2、每条谱线只出现在基波频率的整数倍上,基波频率是诸分量频率
的公约数——谐波性。 3、各频率分量的谱线的高度表示该谐波的幅值。工程上常见的周期

信号,其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减少——收敛性。
有了收敛性在谱分析中就没有必要取那些阶次过高的谐波分量。 4、时域收敛越快,则频域收敛越慢,反之亦然。

前三个特性为主要特性。

频谱密度函数,简称频谱函数,它具有单位频带振幅的量纲

1 f (t ) ? 2?

?

?

??

? ? f (t )e ? j?t dt ? e j?t d ? ? ? ? ??? ?

F (? ) ?

?

?

??

f (t )e? j?t dt

1 f (t ) ? 2?

?

?

??

F ?? ? e j?t d ?

三、几种典型信号的频谱 1、矩形窗函数的频谱

矩形窗函数的频谱已在例2—3中讨论了。从中可见,一个在时域有
限区间内有值的信号,在频域却延伸为无限频率。若在时域中截取 一段长度的信号记录,则相当于原信号和矩形窗函数之乘积,因而

所得频谱将是原信号频域函数和sinc函数的卷积,它将是连续的、
频率无限延伸的频谱。从其频谱图(图2—13)中可以看到,在 f=0±(1/T)之间的谱峰,幅值最大,称为主瓣。两侧其它各谱峰的

峰值较低,称为旁瓣。主瓣宽度为2/T,与时域窗宽度T成反比。可
见时域窗宽T愈大,即截取信号时长愈大,主瓣宽度愈小。



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