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【全国百强校】青海省平安县第一高级中学人教版高中数学必修二课件:2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系_图文


平安县第一高级中学
李连生

一 复习:平面中两条直线的位置关系

南海万泉河立交桥

六角螺母

D

C

A

B

二(1) 异面直线的定义:
我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图 时,通常用一个或两个平面衬托。如下图:

m

m

?

l

l

异面直线的画法: ?

b

b

A

?

a

?a

b

?

a

练习:如图:正方体的棱所在的直线中, 与直线A1B异面的有哪些?

D1 A1
D A

C1 答案:

B1 C

D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1

B

探究:

CA

G DB

HE F

A
H G(C)

D F(B)

E

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的

直线是异面直线的有几对?

相交直线有几对?

平行直线有几对?

想一想:在空间中两条直线 的位置关系?

(2)空间两直线的位置关系:

(1)从公共点的数目来看,可分为:

①有且只有一个公共点——两直线相交

? l1

A l2

记 作 : l1 l2?A

l1

两直线平行 ?

l2

②没有公共点

记作:l1 //l2

两直线为异面直线

(2)从平面的性质来讲,可分为:

①在同一平面内

两直线相交 两直线平行

②不在同一平面内——两直线为异面直线

三. 空间两平行直线 提出问题:在同一平面内,如果两条直线 都与第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行。在空间中,是否有类似的规律?

观察:如图2.1.2-5,长方体 ABCD?A'B'C'D ' 中, BB'∥ AA'

DD'∥ AA' 那么 B B ' 与 D D ' 平行吗?

D'

C'

A' D
A

B' C
B

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行。

公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间 这个性质都适用。

公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若

a∥b

a∥c

c∥b

想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?

空间四边形: 如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.

相对顶点A与C,B与D的

A

连线AC、BD叫做这个空

间四边形的对角线.

B

D

C

三 例题示范

例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H

分别是AB,BC,CD,DA的中点。

求证:四边形EFGH是平行四边形。

分析: 欲证EFGH是一个平行四边形

A

只需证EH∥FG且EH=FG
连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = 2 BD
FG ∥BD且FG =1 BD 2
E,F,G,H分别是各边中点

H
E
D G

B

F

C

例题示范

例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H

分别是AB,BC,CD,DA的中点。

求证:四边形EFGH是平行四边形。

证明: 连结BD

A

∵ EH是△ABD的中位线

∴EH ∥BD且EH = 1 BD

同理,FG

2 ∥BD且FG

=

1

BD

2

∴EH ∥FG且EH =FG

H
E
D G

B

F

C

∴EFGH是一个平行四边形

变式一:

在例2中,如果再加上条件AC=BD,那

么四边形EFGH是什么图形?

A

菱形
E

分析:

在例题2的基础上 B

我们只需要证明平行四

F

边形的两条邻边相等。

H D
G
C

四 练习反馈:
1. 判断:
(1)平行于同一直线的两条直线平行.(√ ) (2)垂直于同一直线的两条直线平行.( × )
(3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知
新疆
直线平行 . (√ ) 王新敞 奎屯
(4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只
有两条. (× )
(5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平
行,那么这两个角相等(×)
(6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相
等. √( )

练习反馈:

2.选择题

(1)“a,b是异面直线”是指 ① a∩b=Φ ,且 a不平行于b;② a ?平面?,b?平面?且a∩b=Φ
③ a ?平面?,b ?平面? ④ 不存在平面?,能

使a ??且b ??成立
上述结论中,正确的是

(C )

(A)①② (B)①③ (C)①④ (D)③④

(2)长方体的一条对角线与长方体的棱所组成
的异面直线有 ( C )
(A)2对 (B)3对 (C)6对 (D)12对

(3)两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交,
则直线a,b的位置关系是( D )
(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)可能是平行直线 (D)可能是异面直线,也可能是相交直线
(4)一条直线和两条异面直线中的一条平行,则
它和另一条的位置关系是( D )
(A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)相交或异面
3.两条直线互相垂直,它们一定相交吗?
答:不一定,还可能异面.

同一平面内:
A'

B'
B
C'

A

C

A/B A /'B',A/C A /'C'? ? BA ?? B C 'A 'C '

问题:在空间中,如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行,那么这 两个角相等吗?
α
β

方向相同或相反,结果如何?

β

γ

? ?

???? ?????

?

?

α

一组边的方向相同,而另一组边的 方向相反,又如何?

β

?,?互补

α

等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
推论:如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行,那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.

三、异面直线所成角的定义:
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
b
b

?O

a'



?O '

a



?



a?b
a
?

b a'
?
O

如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。
异面直线a和b所成的角的范围:0???90o

强调:1)范围??(0, 900] 2)与0的位置无关 ; 3)为了方便点O选取应有利于解
决问题,可取特殊点(如a 或 b上); 4)找两条异面直线所成的角,
要作平行移动(平行线),把两条异面
直线所成的角,转化为两条相交直
线所成的角.

例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。

D1 A1

C1

B1

45o

D

C

A

B

例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直?

D1 A1

C1 B1

D
A

C B

四、异面直线所成角的求法:
一作(找)、二证、三求
(1)通过直线平移,作出异面直线 所成的角,把空间问题转化为 平面问题。 (2)利用平面几何知识, 求出异面直线所成角的大小。

例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a,

E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求: 平
①异面直线 AD与 EF所成角的大小;4 5 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小;6 0 法

③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 9 0

AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角,
即为∠AOG或其补角.

G O

立体几何
再 见
!



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