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杭州地区2013-2014学年九年级上第一次考试数学试卷及答案


浙江省杭州地区 2013—2014 第一学期第一次考试

初三数学试卷

考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题卡两部分。满分 120 分,考试时间 100 分钟。 2.答题前,必须在答题卡填写校名、班级、姓名,正确涂写考试号。 3.不允许使用计算器进行计算,凡题目中没有要求取精确值的,结果中应保留根号或
π. 一、仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分)

1.若反比例函数 y ? (2m ?1)xm2?2 的图像在第二、四象限,则 m 的值是

()

A.-1 或 1

B.小于 1 的任意实数 C.-1 2

D. 不能确定

2.若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点在第一象限,与 x 轴的两个交点分布在原点两侧,则

点( a , c )在 a
A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

3.已知 k1

?

0?

k2 ,则函数

y

?

k1x ?1和

y

?

k2 x

的图象大致是

() D.第四象限
()

4.已知函数 y ? kx2 ? 7x ? 7 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是

()

A. k ? ? 7 4

B. k ? ? 7 且k ? 0 4

C. k ? ? 7 4

D. k ? ? 7 且k ? 0 4

5.已知二次函数 y ? 2x 2 ? 9x ? 34 ,当自变量 x 取两个不同的值 x1 , x2 时,函数值相等,

则当自变量 x 取 x1 ? x2 时的函数值与

()

A. x ? 1时的函数值相等

B. x ? 0 时的函数值相等

C. x ? 1 时的函数值相等 4

D. x ? ? 9 时的函数值相等 4

6.如图,直线 l 和双曲线 y ? k ( k ? 0 )交于 A、B 两点,P 是线
x

段 AB 上的点(不与 A、B 重合),过点 A、B、P 分别向 x 轴

作垂线,垂足分别为 C、D、E,连接 OA、OB、OP,设△AOC 的面积为 S1 、△BOD 的面积为 S2 、△POE 的面积为 S3 ,
则有( )

A. S1 ? S2 ? S3

B. S1 ? S2 ? S3

C. S1 ? S2 ? S3

D. S1 ? S2 ? S3

7.如图是二次函数 y ? ? 1 x2 ? 2 的图象在 x 轴上方的一部分,若这段图象与 x 轴所围成的 2

阴影部分面积为 S,则 S 取值最接近

()

16

A.4

B.

C.2π

D.8

3

8.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升 10℃,加热到 100℃,

停止加热,水温开始下降,此时水温(℃)与开机后用时(min)成反比例关系.直至水温

降至 30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为 30℃

时,接通电源后,水温 y(℃)和时间(min)的关系如图,为了在上午第一节下课时(8:

45)能喝到不超过 50℃的水,则接通电源的时间可以是当天上午的

()

A.7:20

B.7:30

C.7:45

D.7:50

9.定义[ a,b, c ]为函数 y ? ax2 ? bx ? c 的特征数, 下面给出特征数为 [2m,1 – m , –1– m]

的函数的一些结论:

① 当 m = – 3 时,函数图象的顶点坐标是( 1 , 8 ); 33

② 当 m > 0 时,函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3 ; 2

③ 当 m < 0 时,函数在 x > 1 时,y 随 x 的增大而减小; 4

④ 当 m ? 0 时,函数图象经过同一个点.

其中正确的结论有

A. ①②③④

B. ①②④

C. ①③④

10.给出下列命题及函数 y=x,y=x2 和 y ? 1 x

D. ②④

()

①如果 ③如果 则( )

,那么 0<a<1;②如果 ,那么﹣1<a<0;④如果

,那么 a>1; 时,那么 a<﹣1.

A.正确的命题是①④

B.错误的命题是②③④

C.正确的命题是①②

D.错误的命题只有③

二、认真填一填(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分)

11.如图,两个反比例函数

y

?

4 x

和y

?

2 x

在第一象限内的图象分别是 C1和C2

,设点

P



C1 上,PA⊥x 轴于点 A,交 C2 于点 B,则△POB 的面积为



y

P

B

C1

C2

O

A

x

11 题 12.如图,函数 y=﹣x 与函数

12 题 的图象相交于 A,B 两点,过 A,B 两点分别作 y 轴的

垂线,垂足分别为点 C,D.则四边形 ACBD 的面积为



13.如图,P1

?

x1,

y1 ? ,P2

?

x2 ,

y2

?

,……

Pn

? xn ,

yn

?

在函数

y

?

1 x

?

x

?

0? 的图像上,?P1OA1



?P2A1A2 ,?P3A2A3 ,…… ?PnAn?1An 都是等腰直角三角形,斜边 OA1 、A1A2 、A2A3 ,……

An?1An 都在 x 轴上(n 是大于或等于 2 的正整数),则点 P3 的坐标是

;点 Pn 的坐标



(用含 n 的式子表示).

y

P1

P2 P3

O

A1 A2 A3

x

y 3 O1 3 x

13 题
14.抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 如图所示,则它关于 y 轴对称的抛物线
的关系式是__________。
15.如图在平面直角坐标系中,二次函数 y ? ax 2 ? c 的图象过正方
形 ABOC 的三个顶点 A、B、C,则 ac 值为 。

14 题

A

B

C

16.在平面直角坐标系 xoy 中,直线 y=kx(k 为常数)与抛物线 y= 1 x2 3
-2 交于 A,B 两点,且 A 点在 y 轴左侧,P 点的坐标为(0,-4),连接 PA,PB.有以下说 法:①PO2=PA·PB;②当 k>0 时,(PA+AO)(PB-BO)的值随 k 的增大而增大;③当 k=
- 3 时,BP2=BO·BA;④△PAB 面积的最小值为 4 6 . 3

其中正确的是______.(写出所有正确说法的序号)

三、解答题(本题有 8 小题,第 17~19 题 6 分,第 20、21 题每题 8 分,第 22、23 题每题

10 分,第 24 题每题 12 分,共 66 分)

17.(6

分)如图所示,在直角坐标系中,点

A

是反比例函数

y1

?

k x

的图象上一点, AB

?

x

轴的正半轴于 B 点,C 是 OB 的中点;一次函数 y2 ? ax ? b 的图象经过 A 、C 两点,并将 y

轴于点 D ?0,? ?2 ,若 S△AOD ? 4.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)观察图象,请指出在

y

轴的右侧,当

y 1

?

y2 时,

x 的取值范围.

y

A

O

CB

x

D

18.(6 分)某企业投资 100 万元引进一条农产品加工线,若平计维修、保养费用,预计投
产后每年可获利 33 万元,该生产线投资后,从第 1 年到第 x 年的维修、保养费用累计为 y(万 元),且 y ? ax2 ? bx ,若第 1 年的维修、保养费用为 2 万元,第 2 年为 4 万元。
(1)求 y 与 x 之间的关系式;
(2)投产后,这个企业在第几年就能收回投资?

19.(6 分)在关于 x,y 的二元一次方程组

中.

(1)若 a=3.求方程组的解; (2)若 S=a(3x+y),当 a 为何值时,S 有最值.

20.(8 分)(1)先求解下列两题:①如图①,点 B,D 在射线 AM 上,点 C,E 在射线 AN 上,且 AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A 的度数;
②如图②,在直角坐标系中,点 A 在 y 轴正半轴上,AC∥x 轴,点 B,C 的横坐标都是

3,且 BC=2,点 D 在 AC 上,且横坐标为 1,若反比例函数

的图象经过

点 B,D,求 k 的值. (2)解题后,你发现以上两小题有什么共同点?请简单地写出.

21.(8 分).如图,抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交 C 点,点 A 的坐标为(2,0), 点 C 的坐标为(0,3)它的对称轴是直线 x=
(1)求抛物线的解析式; (2)M 是线段 AB 上的任意一点,当△MBC 为等腰三角形时,求 M 点的坐标.

22.(10 分)如图①,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(0,3),B(3,0),C(4,3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴; (3)把抛物线向上平移,使得顶点落在 x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成 的图形的面积 S(图②中阴影部分).
23.(10 分)已知抛物线 y=(x﹣2)(x+a)(a>0)与 x 轴交于点 B、C,与 y 轴交于点 E, 且点 B 在点 C 的左侧. (1)若抛物线过点 M(﹣2,﹣2),求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,解答下列问题; ①求出△BCE 的面积; ②在抛物线的对称轴上找一点 H,使 CH+EH 的值最小,直接写出点 H 的坐标.

24.(12 分)如图,抛物线 y=ax2+c(a≠0)经过 C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线 y=kx 交于 A、B 两点,直线 l 过点 E(0,﹣2)且平行于 x 轴,过 A、B 两点分别作直线 l 的垂线,垂足分别为点 M、N. (1)求此抛物线的解析式; (2)求证:AO=AM; (3)探究:

①当 k=0 时,直线 y=kx 与 x 轴重合,求出此时

的值;

②试说明无论 k 取何值,

的值都等于同一个常数.

答案
选择题:1. C 2. C 3.A 4. C 5. B 6.C 7.B 8.A 9. B 10.A
? ? ? ? 填 空 题 : 11. 1 12. 8 13. 3 ? 2, 3 ? 2 n ? n ?1, n ? n ?1

14. y ? x 2 ? 4x ? 3

15.-1 16.③、④.

解答题

17.(1)作 AE⊥y 轴于 E, ∵S△AOD=4,OD=2 ∴12OD?AE=4 ∴AE=4(1分) ∵AB⊥OB,C 为 OB 的中点, ∴∠DOC=∠ABC=90°,OC=BC,∠OCD=∠BCA ∴Rt△DOC≌Rt△ABC ∴AB=OD=2 ∴A(4,2) 将 A(4,2)代入 y1=kx 中,得
k=8, ∴反比例函数的解析式为:y1=8x, 将 A(4,2)和 D(0,-2)代入 y2=ax+b, 得4a+b=2b=-2解之得:a=1 b=-2 ∴一次函数的解析式为:y2=x-2;

(2)在 y 轴的右侧,当 y1>y2时,0<x<4.

18.(1) y ? x 2 ? x (2)设投产后的纯收入为 y / ,则 y / ? 33x ?100 ? y 。即: y / ? ?x2 ? 32 x ?100 ? ?(x ?16)2 ? 156 。 由于当1 ? x ? 16时, y / 随 x 的增大而增大,且当 x =1,2,3 时, y / 的值均小于 0, 当 x =4 时, y / ? ?(4 ?16)2 ? 156 ? 12 ? 0. 可知:
投产后第四年该企业就能收回投资。

19.解:(1)a=3 时,方程组为



②×2 得,4x﹣2y=2③, ①+③得,5x=5, 解得 x=1, 把 x=1 代入①得,1+2y=3, 解得 y=1, 所以,方程组的解是 ;
(2)方程组的两个方程相加得,3x+y=a+1, 所以,S=a(3x+y)=a(a+1)=a2+a, 所以,当 a=﹣ =﹣时,S 有最小值.
20.解:(1)①∵AB=BC=CD=DE, ∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED, 根据三角形的外角性质,∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠ EDM, 又∵∠EDM=84°, ∴∠A+3∠A=84°, 解得,∠A=21°; ②∵点 B 在反比例函数 y=图象上,点 B,C 的横坐标都是 3, ∴点 B(3,), ∵BC=3, ∴点 C(3, +2), ∵AC∥x 轴,点 D 在 AC 上,且横坐标为 1, ∴A(1, +2), ∵点 A 也在反比例函数图象上, ∴+2=k, 解得,k=3; (2)用已知的量通过关系去表达未知的量,使用转换的思维和方法.(开放题) 21.解:(1)设抛物线的解析式
把 A(2,0)C(0,3)代入得:

解得: ∴ 即

(2)由 y=0 得
∴x1=1,x2=﹣3 ∴B(﹣3,0) ①CM=BM 时 ∵BO=CO=3 即△BOC 是等腰直角三角形 ∴当 M 点在原点 O 时,△MBC 是等腰三角形 ∴M 点坐标(0,0) ②BC=BM 时 在 Rt△BOC 中,BO=CO=3,
由勾股定理得
∴BC= ∴BM= ∴M 点坐标( 22
.解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(0,3),B(3,0),C(4,3),



,解得



所以抛物线的函数表达式为 y=x2﹣4x+3; (2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),对称轴为直线 x=2; (3)如图,∵抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),∴PP′=1, 阴影部分的面积等于平行四边形 A′APP′的面积, 平行四边形 A′APP′的面积=1×2=2, ∴阴影部分的面积=2.

23.解:(1)将 M(﹣2,﹣2)代入抛物线解析式得:﹣2=(﹣2﹣2)(﹣2+a), 解得:a=4;

(2)①由(1)抛物线解析式 y=(x﹣2)(x+4), 当 y=0 时,得:0=(x﹣2)(x+4), 解得:x1=2,x2=﹣4, ∵点 B 在点 C 的左侧, ∴B(﹣4,0),C(2,0), 当 x=0 时,得:y=﹣2,即 E(0,﹣2), ∴S△BCE=×6×2=6; ②由抛物线解析式 y=(x﹣2)(x+4),得对称轴为直线 x=﹣1, 根据 C 与 B 关于抛物线对称轴直线 x=﹣1 对称,连接 BE,与对称轴交于点 H,即为所求, 设直线 BE 解析式为 y=kx+b,

将 B(﹣4,0)与 E(0,﹣2)代入得:



解得:



∴直线 BE 解析式为 y=﹣x﹣2, 将 x=﹣1 代入得:y=﹣2=﹣, 则 H(﹣1,﹣).

24.(1)解:∵抛物线 y=ax2+c(a≠0)经过 C(2,0),D(0,﹣1),





解得



所以,抛物线的解析式为 y=x2﹣1; (2)证明:设点 A 的坐标为(m, m2﹣1),

则 AO=

=m2+1,

∵直线 l 过点 E(0,﹣2)且平行于 x 轴, ∴点 M 的纵坐标为﹣2, ∴AM=m2﹣1﹣(﹣2)=m2+1, ∴AO=AM;

(3)解:①k=0 时,直线 y=kx 与 x 轴重合,点 A、B 在 x 轴上, ∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2,
∴ + =+=1;

②k 取任何值时,设点 A(x1, x12﹣1),B(x2, x22﹣1),

则+=

+

=

=



联立



消掉 y 得,x2﹣4kx﹣4=0,
由根与系数的关系得,x1+x2=4k,x1?x2=﹣4, 所以,x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1?x2=16k2+8, x12?x22=16,

∴+=

=

=1,

∴无论 k 取何值, + 的值都等于同一个常数 1.



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