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2009年浙江省教师招聘考试说明(中学数学)及参考样卷(含答案)


年浙江省教师招聘考试说明(中学数学) 2009 年浙江省教师招聘考试说明(中学数学)
Ⅰ. 考试性质 浙江省教师招聘考试是为全省教育行政部门招聘教师而进行的选拔性考试, 其目的是为 教育行政部门录用教师提供智育方面的参考。各地根据考生的考试成绩,结合面试情况,按 已确定的招聘计划,从教师应有的素质、文化水平、教育技能等方面进行全面考核,择优录 取。因此,全省教师招聘考试应当具有较高的信度、效度、区分度和适当的难度。 Ⅱ. 考核目标与要求 根据中小学录用教师的文化素质要求,本科目的考试,按照“考查基础知识的同时,注 重考查综合素质”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,既考查中学数学(初中以及高 中)的教学内容,也考查高等数学中对应于中学数学教学内容的相关知识,还考查中学数学 教材教法的有关知识内容,将知识、能力和素质融为一体,综合检测考生对中学数学教学内 容的掌握程度、对数学本质的理解水平以及进入中学从事数学教育的基本潜能。 数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系(包括初等数学与高等 数学知识的纵向联系和横向联系),中学数学教材教法的综合性与发展性决定了中学数学教 师技能素质的统整性,要善于从本质上抓住这些联系与特点,进而通过分类、梳理、综合, 构建数学试卷的结构框架。 (一)对中学数学教学内容的考查,既要全面又要突出重点,对于支撑中学数学知识体 系的重点内容,要占有较大的比例,构成数学试卷的主体,注重中学数学教学内容的内在联 系和知识的综合性, 从中学的整体高度和思维价值来考虑问题, 使对中学数学教学内容的知 识考查达到必要的深度。 (二) 对高等数学中对应于中学数学教学内容相关知识的考查, 要立足于相应知识点的 深化,用高等数学的观点、原理和方法来认识、理解和解决中学数学未能深入解决的一些问 题,体现高等数学与中学数学教学内容的紧密联系,突出对数学知识的本质理解。 (三) 对中学数学教材教法知识内容的考查, 侧重体现对中学数学教材教法的内容与意 义、中学数学教学目的与教材内容、中学数学教学方法与基本原则、知识教学与能力培养、 以及中学数学教师常规教学工作的理解程度与认识程度, 以此来检测考生进入中学从事数学 教育工作的潜能与基本素质。 试题要从中学数学教师入职的基本要求出发, 注重考生对考查内容的理解, 淡化机械记

忆与特殊技巧。试题设计力求公平,贴近考生实际,在熟悉的情境中考查能力;试题设计力 求入口宽,方法多样,并且具有层次,以使考生在公平的背景下展示真实水平。 Ⅲ.考试范围与要求 考试范围与要求 中学数学科目考试的范围主要涉及到三个部分:中学数学教学内容、高等数学教学内 容、数学教材教法内容。三个部分在试卷中的总体比例为:中学数学教学内容约占 40%、 高等数学相关内容约占 20%、数学教材教法内容约占 40%,具体要求如下: 一、中学数学教学内容 (一)初中数学教学内容 1.数与代数 1)了解数与代数的发展简史,理解有理数、实数、代数式、整式、分式等概念,掌 握相应的运算性质与法则。 2) 理解方程与不等式的概念, 掌握方程与不等式的同解原理, 会解一元一次方程 (组) 或不等式(组) 、二元一次方程或不等式。 3)了解函数概念的发展历史,掌握函数的有关概念,会求函数解析式、定义域、值 域,理解一次函数(含正比例函数) 、反比例函数、二次函数的概念、图像与性质,并能够 综合利用函数知识解决实际问题。 2.空间与图形 1)了解点、线、面、角、距离、面积、体积等概念,掌握各种常见平面图形(如三 角形、平行四边形、圆等)和空间几何体(如圆柱、圆锥、圆台、球)的面积(表面积)以 及体积计算公式的推导与应用。 2)了解尺规作图、视图与投影的原理,理解图形的轴对称、中心对称、图形平移、 图形旋转、图形相似等变换的基本性质与应用。 3)了解证明与推理的涵义,掌握简单命题的证明方法。 3.统计与概率 理解平均数、方差、频率、概率等统计量的概念以及意义,掌握统计图表的制作方法, 体会用样本估计总体的思想。 4.课题学习 了解课题学习的价值与意义,掌握数学课题学习的组织方式与评价方式。 (二)高中数学教学内容 1.集合与简易逻辑。

了解子集、交集、并集、补集、命题、充要条件等概念的意义、有关术语和符号表示。 理解集合之间的运算法则,会求集合的交、并、补运算。掌握四种命题之间的关系,以及充 分、充要条件的判断。 2.函数 了解映射、反函数等概念,掌握函数的基本性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、 周期性) 理解基本初等函数的图形与性质之间的关系, , 掌握基本初等函数的性质以及应用。 3.三角函数 了解角、弧度制、任意角的三角函数、三角函数线等概念,理解同角三角函数的基本 关系式、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、二倍角、半角、积化和差、和差化积等三角 公式的内在联系以及公式在求值、化简、证明中的应用。掌握正弦函数、余弦函数的图像、 性质以及图像之间的变换规律,掌握正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的应用。 4.不等式 掌握不等式的基本性质,不等式的证明、不等式的解法,含绝对值不等式。利用基本 不等式解决实际问题。 5.数列 掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式以及前 n 项和公式的推导以及应用。 6.排列组合与二项式定理 了解排列、组合、排列数、组合数等概念。理解加法原理和乘法原理,掌握常见排列 或组合问题的解决方法,掌握二项式定理以及二项展开式的性质以及应用。 7.平面向量 了解向量的意义、几何表示以及向量运算的法则。掌握向量的加法与减法、实数与向 量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离、 向量平移的意义以及计算公式。利用向量解决立体几何的有关问题。 8.复数 了解数系扩充的必要性,理解复数的概念、复数的运算以及复数与平面向量、三角函 数的关系,掌握复数的加、减、乘、除、乘方、开方运算性质与规则。 9.极限与数学归纳法 了解极限的概念以及数学归纳法的思想。理解数列极限、函数极限的概念、意义以及 运算规则,掌握数列极限、函数极限的计算方法。掌握数学归纳法在证明与自然数有关命题 中的运用。

10.微积分初步 了解微积分建立的时代背景与历史意义,理解导数与微分之间的关系,理解和、差、 积、商、复合函数、反函数的求导法则,掌握初等函数的求导方法以及利用导数讨论函数的 性质。 11.立体几何 了解空间几何体的有关概念,理解线与线、线与面、面与面之间的各种位置关系以及 判定定理与性质定理,掌握空间各种角、距离、面积(侧面积、表面积)、体积的计算公式。 12.解析几何 了解曲线与方程的概念。 理解坐标法解决问题的基本思想, 理解直线与圆的位置关系, 理解椭圆、双曲线、抛物线之间的内在联系。掌握直线与圆的各种方程形式的求法,掌握椭 圆、双曲线、抛物线的定义以及标准方程、几何性质。 二、高等数学相关内容 1.了解微积分的发展历史,掌握极限、连续、导数、微分、积分等基本概念。理解微 积分的基本思想,能够从数学分析的观点、原理与方法,处理解决一些中学数学中的无法深 究的问题。 掌握一元微分学在研究函数图像与性质的具体应用, 掌握一元积分学在求平面图 形面积、平面曲线的弧长、几何体的体积中的应用。 2.了解线性代数的基本内容,掌握行列式、矩阵、向量空间的有关概念与意义。理解 行列式的性质、 矩阵的初等变换以及向量间的线性关系。 掌握一般线性方程组解的结构与解 法。 3.了解空间直角坐标系。理解空间曲线与方程的概念。掌握空间直线、空间平面的方 程。 4.了解组合数学的基本内容。掌握相异元素允许重复的排列与组合、不尽相异元素的 排列与组合问题的解法。理解抽屉原理以及应用。 5.了解序列以及分类。掌握数列的差分、数列的母函数等概念,应用差分法与母函数 法求一些数列的前 n 项和,掌握线性递归数列的概念以及通项公式的求法。 6.了解方程与不等式的同解原理。掌握一元代数方程(特殊类型)的解法,掌握初等 超越方程的解法。理解算术平均与几何平均不等式、白努利不等式、柯西不等式以及应用。 掌握凸函数定理与排序定理在证明不等式中的应用。 三、数学教材教法内容 1.了解中学数学教材教法的内容,理解中学数学教材教法的学科特点,掌握中学数学

教材教法的重要意义以及中学数学教材教法研究的基本方法。 2.了解确定中学数学教学目的主要依据。掌握高中数学课程的总目标与具体目标。理 解普通高中数学课程的基本理念。 3.了解中学数学教材内容安排体系应符合的标准。掌握浙教版初中数学教科书的内容 体系,以及各章节的教学内容。理解普通高中数学课程标准所确立的高中数学课程框架,掌 握必修模块中数学 1、数学 2、数学 3、数学 4、数学 5 中的数学内容。 4.了解中学数学教学的基本方法:讲授法、讨论法、发现法。掌握中学数学教学的基 本原则:严谨性与量力性相结合的原则、抽象与具体相结合的原则、理论与实践相结合的原 则、发展与巩固相结合的原则。 5.了解数学基础知识教学和基本能力培养的重要意义。掌握数学概念、数学命题、数 学思想方法教学的一般要求与教学途径。理解培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象 能力以及创新思维能力与实践能力的重要作用与基本途径。 6.了解中学数学教学工作。掌握备课、上课、说课、评课的基本要求。理解学生数学 学习评价的内容与方法。掌握现代信息技术在数学教学中的作用。 Ⅳ.考试形式与试卷结构 考试形式与试卷结构 考试采用闭卷、 笔试形式。 考试时间为 150 分钟。 全卷满分为 100 分。 试卷包括选择题、 填空题、解答题、论述题、材料分析题或案例设计题等题型。全试卷共 22 题,其中选择题 是四选一型的单项题;填空题只要求直接写出结果,不必写出计算过程或推证过程;解答题 含简答题、 计算题、证明题或应用题, 解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程; 论述题、 材料分析题或案例设计题等应明确表明观点、逻辑清晰、证据恰当、有理有据。 各题型赋分和比例如下:选择题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分;填空题共 5 小题, 每小题 4 分,共 20 分;解答题共 5 小题,共 30 分。论述题、材料分析题或案例设计题共 2 小题,共 20 分。试卷中的容易题,中等题,难题分值的比例约 3:5:2,试卷的构成模板 参考下表。 中学数学教学内容 选择题 10 个 填空题 1 个 解答题 1 个 填空题 2 个 解答题 2 个 填空题 2 个 简答题 2 个 论述题等 2 个 高等数学相关内容 中学数学教材教法内容

V 参考样卷以及答案
小题, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分):在每小题列出的四个备选项中只 选择题( 有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 (1)设 a 是实数,且 A.

1 2

B. 1

a 1+ i + 是实数,则 a = ( 1+ i 2 3 C. D. 2 2



(2)已知向量 a = (?5, , b = (6, ,则 a 与 b ( 6) 5) A.垂直 B.不垂直也不平行

) D.平行且反向 )

C.平行且同向

(3)已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, , (4, ,则双曲线方程为( 0) 0)

A.

x2 y 2 ? =1 4 12

B.

x2 y 2 ? =1 12 4

C.

x2 y 2 ? =1 10 6

D.

x2 y 2 ? =1 6 10


(4)设 a,b ∈ R ,集合 {1,a + b,a} = ?0, ,b ? ,则 b ? a = ( A. 1 B. ?1 C. 2 D. ?2

? b ? a

? ?

(5)下面给出的四个点中,到直线 x ? y + 1 = 0 的距离为 的平面区域内的点是( ) C. (?1, 1) ?

? x + y ? 1 < 0, 2 ,且位于 ? 表示 2 ?x ? y +1 > 0
D1 A1 B1 C1

, A. (11)

B. (?11) ,

D. (1, 1) ?

(6)如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 = 2 AB ,则异面直线

A1 B 与 AD1 所成角的余弦值为(
A.

) D.

D
4 5

C

1 5

B.

2 5

C.

3 5

A

B
1 ,则 a = 2

2 (7)设 a > 1 ,函数 f ( x ) = log a x 在区间 [ a,a ] 上的最大值与最小值之差为
( ) B. 2 C. 2 2 D. 4

A. 2

(8) f ( x) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) = f ( x) + g ( x) ,则“ f ( x) , g ( x) 均为偶 函数”是“ h( x) 为偶函数”的( )

A.充要条件 C.必要而不充分的条件
n

B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件 )

1? ? (9) ? x 2 ? ? 的展开式中,常数项为 15 ,则 n = ( x? ?
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

(10)抛物线 y 2 = 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴 上方的部分相交于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是( A. 4 B. 3 3 C. 4 3 D. 8 )

小题, :把答案直接填在横线上 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 把答案直接填在横线上. 填空题( :把答案直接填在横线上. (11)高中数学课程的总目标是:使学生在 来公民所必要的 的基础上,进一步提高作为未

,以满足个人发展与社会进步的需要。 和 。

(12)学生获得数学概念的两种基本方式是:

(13) 将杨辉三角中的每一个数都换成分数 , 得到一个如右图所 示的分数三角形,称莱布尼茨三角形.若用有序实数对(m,n) 表示第m行,从左到右第n个数,如(4,3)表示分数 表示的分数是 .

1 .那么(9,2) 12

(14)与两平面 x-4z=3 和 2x-y-5z=1 的交线平行且过点 (-3,2,5)的直线方程是: 。 个。

(15) 1, 2, 3, 4, 4, 中每次取出四个数码, 从 2, 3, 3, 4, 4 可以组成不同的四位数有

小题, :解答应写出文字说明 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 解答应写出文字说明,证明过程 解答题( :解答应写出文字说明, 或演算步骤. 或演算步骤. (16)简要回答备课的基本要求。 (17)怎样理解数学的严谨性?在教学中如何贯彻与量力性相结合的原则? (18)已知 a1 = 0, a2 = 4, an + 2 = 2an +1 ? 2an , n = 1, 2,3,..., 求 an 。 (19)计算由椭圆 体积。 (20)已知数列 {an } 中 a1 = 2 , an +1 = ( 2 ? 1)(an + 2) , n = 1, 3, . 2, …
x2 y2 + = 1 所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体(叫做旋转椭球体)的 a2 b2

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 中 b1 = 2 , bn +1 =

3bn + 4 , n = 1, 3, , 2, … 2bn + 3

证明: 2 < bn ≤ a4 n ?3 , n = 1, 3, . 2, … 小题, :论述 四、论述题、材料分析题或案例设计题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 论述、 论述题、材料分析题或案例设计题( :论述、 分析或设计等应明确表明观点、逻辑清晰、证据恰当、有理有据。 分析或设计等应明确表明观点、逻辑清晰、证据恰当、有理有据。 (21)什么是数学思想方法?在中学数学教学中如何渗透数学思想方法? (22)以“抛物线及其标准方程”为内容撰写一份说课稿。

参考答案

小题, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 选择题( (1)B (6)D (2)A (7)D (3)A (8)B (4)C (9)D (5)C (10)C

小题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 填空题( (11)九年义务教育数学课程(2 分) ,数学素养(2 分) (12)概念形成(2 分) ,概念同化(2 分) (13) (14)
1 72 x+3 y ?2 z ?5 = = 4 3 1

(15)175 小题, 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 解答题( (16)备课的基本要求:1)钻研教材:弄清教材的基本要求,明确教材的系统,掌握教材 的重点、难点和关键,备好习题(1 分) 。2)了解学生:了解学生掌握数学基础知识和具备 的能力,了解学生的思想状况和思维特点(1 分) 。3)确立教学目标:知识与技能,过程与 方法,情感态度与价值观(1 分) 。4)选择和组织教学内容:突出重点,突破难点,抓住关 键(1 分) 。5)考虑教学方法:各种方法的有机结合,现代信息技术的运用等(1 分) 。6) 评价教学效果:把过程性评价与结果性评价相结合(1 分) 。 (17)严谨性是数学科学理论的基本特点。它要求数学结论的表述必须精练、准确。而对结

论的推理论证,要求步步有根据,处处符合逻辑理论的要求(1 分) 。在数学内容的安排上, 要求有严格的系统性,要符合学科内在的逻辑结构,既严格,又周密(1 分) 。 贯彻严谨性与量力性相结合的原则,首先必须注意到:数学理论的严谨性具有相对性,在它 达到当前高度严谨以前,也有一个相对来说不那么严谨的过程;对于数学严谨性的要求,中 学生要有一个适应过程(2 分) 。其次,可以通过下列要求来贯彻这一个教学原则:教师必 须明确各部分内容在严谨性上的要求程度;要求学生语言精确;要求学生思考缜密;要求学 生言必有据;要求学生思路清晰(2 分) 。 (18)解 特征方程 x 2 = 2 x ? 2 有两个相异的根 x1 = 1 + i, x2 = 1 ? i ,所以,通项公式为
an = c1 (1 + i )n + c2 (1 ? i ) n

(2 分)

代入前两项的值,得
?(1 + i )c1 + (1 ? i )c2 = 0, ? ?ic1 ? ic2 = 2.

解得

c1 = ?1 ? i, c2 = ?1 + i.

(2 分) (2 分)

∴ an = ?(1 + i ) n +1 ? (1 ? i ) n +1 = ?2

n+3 2

cos

n +1 π. 4

(19)解 这个旋转椭球体也可以看作是由上半个椭圆
y= b 2 a ? x2 a

以及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体。 取 x 为积分变量,它的变化区间为[-a,a]。旋转椭球体中相应于[-a,a]上任一小区间[x,x +dx]的薄片的体积,近似于底半径为
dV =

b 2 a ? x 2 、高为 dx 的扁圆柱体的体积,即体积元素 a
(a 2 ? x 2 )dx.

π b2
a2

(3 分)

于是所求旋转椭球体的体积为
V =∫ π
?a a

b2 2 (a ? x 2 )dx a2
a

b =π 2 a

2

? 2 x3 ? ?a x ? ? 3? ?

(3 分)
4 = π ab 2 . 3

?a

(20)解: (Ⅰ)由题设:

an +1 = ( 2 ? 1)(an + 2) = ( 2 ? 1)(an ? 2) + ( 2 ? 1)(2 + 2) = ( 2 ? 1)(an ? 2) + 2


an +1 ? 2 = ( 2 ? 1)(an ? 2) .
所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列,

{

}

an ? 2 = 2( 2 ? 1)n ,即 an 的通项公式为 an = 2 ?( 2 ? 1)n + 1? , n = 1, 3, . 2, … (2 ? ?
分) (Ⅱ)用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n = 1 时,因 2 < 2 , b1 = a1 = 2 ,所以

2 < b1 ≤ a1 ,结论成立.
(ⅱ)假设当 n = k 时,结论成立,即 2 < bk ≤ a4 k ?3 , 也即 0 < bk ? 2 ≤ a4 k ?3 ? 3 . 当 n = k + 1 时,

bk +1 ? 2 =

3bk + 4 (3 ? 2 2)bk + (4 ? 3 2) (3 ? 2 2)(bk ? 2) ? 2 = (2 = > 0 , 分) 2bk + 3 2bk + 3 2bk + 3



1 1 < = 3? 2 2 , 2bk + 3 2 2 + 3 bk +1 ? 2 = (3 ? 2 2)(bk ? 2) < (3 ? 2 2) 2 (bk ? 2) ≤ ( 2 ? 1) 4 (a4 k ?3 ? 2) 2bk + 3

所以

= a4 k +1 ? 2 .
也就是说,当 n = k + 1 时,结论成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)知 2 < bn ≤ a4 n ?3 , n = 1, 3, . 2, … (2 分)

小题, 四、论述题、材料分析题或案例设计题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 论述题、材料分析题或案例设计题( (21)数学思想方法既是数学思想,也是数学方法。同一数学成就,当用它去解决别的问题 时,就称之为方法,当评价它在数学体系中的自身价值和意义时,称之为思想。 分)与 (2 数学知识、数学命题相比较,数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括,蕴含于 数学知识的发生、发展和应用的过程之中,是在认识活动中被反复使用,带有普遍指导意义 的各种方式以及策略等。 分) (2 中学数学教学内容蕴含着丰富的数学思想方法, 如函数与方程的思想方法、 数形结合的 思想方法等。 分)数学思想方法的教学通常有两种基本途径:第一,在数学知识的教学 (2

过程中归纳、提炼数学思想方法;第二,在数学问题的解决过程中使用数学思想方法。 (2 分) 数学思想方法的教学应该注意两点: 第一, 数学思想方法的教学应该以渗透为主要特征; 第二,数学思想方法的渗透应该注重长期性和反复性。 分) (2 (22)说教材(2 分) ;说学情(2 分) ;说教学方法(2 分) ;说教学过程(2 分) ;说教学评 价(2 分) 。



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