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2019-2020年高中数学第一章立体几何初步1.7.3球的表面积和体积高效测评北师大版必修


2019-2020 年高中数学第一章立体几何初步 1.7.3 球的表面积和体积

高效测评北师大版必修

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1.用与球心距离为 1 的平面去截球,所得截面面积为 π ,则球的体积为( )

A.332π

B.8π3

C.8 2π

D.8

3

2 π

解析: 设球的半径为 R,截面的半径为 r.

∴π r2=π .∴r=1.∴R= 2.

∴V=43π R3=43π (

2)3=8

3

2 π

.

答案: D 2.64 个半径都为a4的球,记它们的体积之和为 V 甲,表面积之和为 S 甲;一个半径为 a

的球,记其体积为 V 乙,表面积为 S 乙,则( )

A.V 甲>V 乙且 S 甲>S 乙

B.V 甲<V 乙且 S 甲<S 乙

C.V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙

D.V 甲=V 乙且 S 甲=S 乙

解析:

64

a 个半径都为4的球,它们的体积之和为

V

4 甲=64×3π

·???a4???3=43π

a3,表面积

之和为

S

甲=64×4π

???a4???2=16π

a2;一个半径为

a

的球,其体积为

V

4 乙=3π

a3,表面积为 S

乙=4π a2.所以 V 甲=V 乙且 S 甲>S 乙,故选 C.

答案: C

3.一个正方体与一个球表面积相等,那么它们的体积比是( )

A.32ππ

B.

2π 2

C.

π 2

D.

6π 6

解析: 设正方体的棱长为 a,球的半径为 R,则

6a2=4π R2,即 a=

6π 3

R.

∴V

正=a3=6π

6π 27

R3,V

4 球=3π

R3,∴VV正球=

6π 6

.

答案: D

4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则

这个球的表面积是( )

A.25π

B.50π

C.125π

D.都不对

解析: 设球的半径为 R.则 2R= 32+42+52=5 2.

∴S 表=4π R2=π (2R)2=π (5 2)2=50π . 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________. 解析: 由三视图,易知原几何体是个半球,其半径为 1, S=π ×12+12×4×π ×12=3π .

答案: 3π

6.已知正四棱锥

O-ABCD

3 的体积为

2

2 ,底面边长为

3,则以 O 为球心,OA 为半径的

球的表面积为________. 解析: 过 O 作底面 ABCD 的垂线段 OE,则 E 为正方形 ABCD 的中心.由题意可知13

×(

3)2×OE=3

3

2 ,所以

OE=3

2

2 ,故球的半径

R=OA=

OE2+EA2=

6,则球的表面积 S

=4π R2=24π .

答案: 24π

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)

7.已知高与底面直径之比为 2∶1 的圆柱内接于球,且圆柱的体积为 500π ,求球的体

积.

解析: 设圆柱的底面半径为 r,高为 h,球的半径为 R,

则2hr=21,∴h=4r.

∵V 柱=500π ,∴π r2h=500π , 即 π r2·4r=500π ,

∴r3=5040=125,∴r=5.

由圆柱内接于球知:R= = r2+4r2= 5r,

r2+???12h???2

即 R=5 5,

∴V

4 球=3π

R3=43π

(5

5)3=2

500 3

5 π.



V

2 球=

500 3

5 π.

∴球的体积为2

500 3

5 π

.

8.如图,一个长、宽、高分别为 80 cm,60 cm,55 cm 的水槽中有水 200 000 cm3.现放

2

1

入一个直径为 50 cm 的木球,如果木球的3在水中,3在水上,那么水是否会从水槽中流出?

解析: 水槽的容积 V=80×60×55=264 000(cm3),

木球的体积

V

4 木=3π

×253≈65

417(cm3).

∵200 000+65 417×23≈243 611<V,

∴水不会从水槽中流出.

尖子生题库 ☆☆☆

9.(10 分)一个四面体的所有棱长都为 2,四个顶点都在一个球面上,求此球的表面积. 解析: 由题意可知,该四面体是正四面体,则根据正四面体与球的对称性可知球心在 四面体的高线上,且球心到各顶点的距离相等,如图所示,在四面体 S-ABC 中,高为 SD, O 为外接球的球心,设球的半径为 R,

则 OS=OC=R.又四面体所有棱长都为 2,

所以 CD=23

2 2-??? 22???2= 36,

SD=

2

2-???

36???2=2

3

3 .

在 Rt△ODC 中,OC2=OD2+CD2,

即 R2=???2 3 3-R???2+??? 36???2, 解得 R= 23,所以 S 球=4π R2=3π .
2019-2020 年高中数学第一章立体几何初步《直观图》参考教案北师大版 必修 2
一、教学目标 1.知识与技能 1 掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 2.过程与方法 学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3.情感态度与价值观 (1)提高空间想象力与直观感受。 (2)体会对比在学习中的作用。 (3)感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点 重点、难点:用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教学用具 1.学法:学生通过作图感受图形直观感,并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2.教学用具:三角板、圆规
四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.我们都学过画画,这节课我们画一物体:圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2.学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效果更好,思考怎样才能画
好物体的直观图呢?这是我们这节主要学习的内容。 (二)研探新知

1.例 1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思考斜 二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点的位置 一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观图的画 法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。
练习反馈 根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师检查。 2.例 2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 教师引导学生与例 1 进行比较,与画水平放置的多边形的直观图一样,画水平放置的圆 的直观图,也是要先画出一些有代表性的点,由于不能像多边那样直接以顶点为代表点,因 此需要自己构造出一些点。 教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点,与学生共同完成例 2 并详 细板书画法。 3.探求空间几何体的直观图的画法 (1)例 3,用斜二测画法画长、宽、高分别是 4cm、3cm、2cm 的长方体 ABCD-A′B′C′D′ 的直观图。 教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生按部就班地画好每一步, 不能敷衍了事。 4.巩固练习 三、归纳整理 学生回顾斜二测画法的关键与步骤 四、作业



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